Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74068 / 55068
↖ ↑ ↗
← N 27.615406°
E 23.433838°		 ← 270.57 m → N 27.615406°
E 23.436584°		 →
↑
270.64 m
↓
↑
270.64 m
↓
N 27.612972°
E 23.433838°		 ← 270.58 m →
73 229 m²		 N 27.612972°
E 23.436584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565097808837891 y=0.420139312744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565097808837891 × 217)
    floor (0.565097808837891 × 131072)
    floor (74068.5)     		tx = 74068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420139312744141 × 217)
    floor (0.420139312744141 × 131072)
    floor (55068.5)     		ty = 55068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74068 / 55068 ti = "17/74068/55068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74068/55068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74068 ÷ 217
    74068 ÷ 131072     		x = 0.565093994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55068 ÷ 217
    55068 ÷ 131072     		y = 0.420135498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565093994140625 × 2 - 1) × π
    0.13018798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40899763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420135498046875 × 2 - 1) × π
    0.15972900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.501803465222748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40899763} λ = 0.40899763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501803465222748))-π/2
    2×atan(1.65169736500849)-π/2
    2×1.02638804299553-π/2
    2.05277608599105-1.57079632675     		φ = 0.48197976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40899763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.433838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48197976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.615406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74068 KachelY 55068 0.40899763 0.48197976 23.433838 27.615406
    Oben rechts KachelX + 1 74069 KachelY 55068 0.40904556 0.48197976 23.436584 27.615406
    Unten links KachelX 74068 KachelY + 1 55069 0.40899763 0.48193728 23.433838 27.612972
    Unten rechts KachelX + 1 74069 KachelY + 1 55069 0.40904556 0.48193728 23.436584 27.612972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48197976-0.48193728) × R
    4.24799999999559e-05 × 6371000     		dl = 270.640079999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48197976-0.48193728) × R
    4.24799999999559e-05 × 6371000     		dr = 270.640079999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40899763-0.40904556) × cos(0.48197976) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.88607897317051 × 6371000     		do = 270.574873987515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40899763-0.40904556) × cos(0.48193728) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.886098663308357 × 6371000     		du = 270.580886607979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48197976)-sin(0.48193728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88607897317051-0.886098663308357)×R²
    abs(0.40904556-0.40899763)×1.96901378473058e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.96901378473058e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.96901378473058e-05×40589641000000     		ar = 73229.2191809076m²