Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74066 / 60882
↖ ↑ ↗
← N 12.677855°
E 23.428345°		 ← 297.98 m → N 12.677855°
E 23.431091°		 →
↑
297.91 m
↓
↑
297.91 m
↓
N 12.675176°
E 23.428345°		 ← 297.98 m →
88 771 m²		 N 12.675176°
E 23.431091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565082550048828 y=0.464496612548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565082550048828 × 217)
    floor (0.565082550048828 × 131072)
    floor (74066.5)     		tx = 74066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464496612548828 × 217)
    floor (0.464496612548828 × 131072)
    floor (60882.5)     		ty = 60882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74066 / 60882 ti = "17/74066/60882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74066/60882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74066 ÷ 217
    74066 ÷ 131072     		x = 0.565078735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60882 ÷ 217
    60882 ÷ 131072     		y = 0.464492797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565078735351562 × 2 - 1) × π
    0.130157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40890175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464492797851562 × 2 - 1) × π
    0.071014404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.223098330831741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40890175} λ = 0.40890175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.223098330831741))-π/2
    2×atan(1.24994347567495)-π/2
    2×0.896033325689932-π/2
    1.79206665137986-1.57079632675     		φ = 0.22127032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40890175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.428345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22127032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.677855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74066 KachelY 60882 0.40890175 0.22127032 23.428345 12.677855
    Oben rechts KachelX + 1 74067 KachelY 60882 0.40894969 0.22127032 23.431091 12.677855
    Unten links KachelX 74066 KachelY + 1 60883 0.40890175 0.22122356 23.428345 12.675176
    Unten rechts KachelX + 1 74067 KachelY + 1 60883 0.40894969 0.22122356 23.431091 12.675176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22127032-0.22122356) × R
    4.6759999999979e-05 × 6371000     		dl = 297.907959999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22127032-0.22122356) × R
    4.6759999999979e-05 × 6371000     		dr = 297.907959999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40890175-0.40894969) × cos(0.22127032) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.975619440541326 × 6371000     		do = 297.979289585525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40890175-0.40894969) × cos(0.22122356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.975629701852121 × 6371000     		du = 297.982423653968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22127032)-sin(0.22122356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975619440541326-0.975629701852121)×R²
    abs(0.40894969-0.40890175)×1.02613107954008e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02613107954008e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02613107954008e-05×40589641000000     		ar = 88770.8691307478m²