Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74064 / 90641
↖ ↑ ↗
← S 56.585204°
E 23.422852°		 ← 168.20 m → S 56.585204°
E 23.425598°		 →
↑
168.19 m
↓
↑
168.19 m
↓
S 56.586717°
E 23.422852°		 ← 168.19 m →
28 289 m²		 S 56.586717°
E 23.425598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565067291259766 y=0.691539764404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565067291259766 × 217)
    floor (0.565067291259766 × 131072)
    floor (74064.5)     		tx = 74064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691539764404297 × 217)
    floor (0.691539764404297 × 131072)
    floor (90641.5)     		ty = 90641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74064 / 90641 ti = "17/74064/90641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74064/90641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74064 ÷ 217
    74064 ÷ 131072     		x = 0.5650634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90641 ÷ 217
    90641 ÷ 131072     		y = 0.691535949707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5650634765625 × 2 - 1) × π
    0.130126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40880588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691535949707031 × 2 - 1) × π
    -0.383071899414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.20345586496151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40880588} λ = 0.40880588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20345586496151))-π/2
    2×atan(0.300155121900182)-π/2
    2×0.291599102071103-π/2
    0.583198204142206-1.57079632675     		φ = -0.98759812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40880588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.422852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98759812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.585204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74064 KachelY 90641 0.40880588 -0.98759812 23.422852 -56.585204
    Oben rechts KachelX + 1 74065 KachelY 90641 0.40885382 -0.98759812 23.425598 -56.585204
    Unten links KachelX 74064 KachelY + 1 90642 0.40880588 -0.98762452 23.422852 -56.586717
    Unten rechts KachelX + 1 74065 KachelY + 1 90642 0.40885382 -0.98762452 23.425598 -56.586717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98759812--0.98762452) × R
    2.6399999999982e-05 × 6371000     		dl = 168.194399999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98759812--0.98762452) × R
    2.6399999999982e-05 × 6371000     		dr = 168.194399999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40880588-0.40885382) × cos(-0.98759812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.550696310025639 × 6371000     		do = 168.19682800474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40880588-0.40885382) × cos(-0.98762452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.550674273603753 × 6371000     		du = 168.190097514278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98759812)-sin(-0.98762452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550696310025639-0.550674273603753)×R²
    abs(0.40885382-0.40880588)×2.20364218861402e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20364218861402e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20364218861402e-05×40589641000000     		ar = 28289.1985543143m²