Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74064 / 57170
↖ ↑ ↗
← N 22.385635°
E 23.422852°		 ← 282.41 m → N 22.385635°
E 23.425598°		 →
↑
282.36 m
↓
↑
282.36 m
↓
N 22.383095°
E 23.422852°		 ← 282.41 m →
79 743 m²		 N 22.383095°
E 23.425598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565067291259766 y=0.436176300048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565067291259766 × 217)
    floor (0.565067291259766 × 131072)
    floor (74064.5)     		tx = 74064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436176300048828 × 217)
    floor (0.436176300048828 × 131072)
    floor (57170.5)     		ty = 57170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74064 / 57170 ti = "17/74064/57170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74064/57170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74064 ÷ 217
    74064 ÷ 131072     		x = 0.5650634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57170 ÷ 217
    57170 ÷ 131072     		y = 0.436172485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5650634765625 × 2 - 1) × π
    0.130126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40880588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436172485351562 × 2 - 1) × π
    0.127655029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.40104010222139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40880588} λ = 0.40880588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40104010222139))-π/2
    2×atan(1.49337715504045)-π/2
    2×0.980749679612867-π/2
    1.96149935922573-1.57079632675     		φ = 0.39070303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40880588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.422852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39070303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.385635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74064 KachelY 57170 0.40880588 0.39070303 23.422852 22.385635
    Oben rechts KachelX + 1 74065 KachelY 57170 0.40885382 0.39070303 23.425598 22.385635
    Unten links KachelX 74064 KachelY + 1 57171 0.40880588 0.39065871 23.422852 22.383095
    Unten rechts KachelX + 1 74065 KachelY + 1 57171 0.40885382 0.39065871 23.425598 22.383095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39070303-0.39065871) × R
    4.43199999999866e-05 × 6371000     		dl = 282.362719999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39070303-0.39065871) × R
    4.43199999999866e-05 × 6371000     		dr = 282.362719999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40880588-0.40885382) × cos(0.39070303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924641547449158 × 6371000     		do = 282.409328864219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40880588-0.40885382) × cos(0.39065871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92465842530601 × 6371000     		du = 282.414483796138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39070303)-sin(0.39065871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924641547449158-0.92465842530601)×R²
    abs(0.40885382-0.40880588)×1.68778568512273e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68778568512273e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68778568512273e-05×40589641000000     		ar = 79742.5940447437m²