Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74063 / 57171
↖ ↑ ↗
← N 22.383095°
E 23.420105°		 ← 282.41 m → N 22.383095°
E 23.422852°		 →
↑
282.43 m
↓
↑
282.43 m
↓
N 22.380555°
E 23.420105°		 ← 282.42 m →
79 762 m²		 N 22.380555°
E 23.422852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565059661865234 y=0.436183929443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565059661865234 × 217)
    floor (0.565059661865234 × 131072)
    floor (74063.5)     		tx = 74063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436183929443359 × 217)
    floor (0.436183929443359 × 131072)
    floor (57171.5)     		ty = 57171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74063 / 57171 ti = "17/74063/57171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74063/57171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74063 ÷ 217
    74063 ÷ 131072     		x = 0.565055847167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57171 ÷ 217
    57171 ÷ 131072     		y = 0.436180114746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565055847167969 × 2 - 1) × π
    0.130111694335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.40875794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436180114746094 × 2 - 1) × π
    0.127639770507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.40099216532177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40875794} λ = 0.40875794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40099216532177))-π/2
    2×atan(1.4933055688855)-π/2
    2×0.980727517186074-π/2
    1.96145503437215-1.57079632675     		φ = 0.39065871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40875794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.420105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39065871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.383095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74063 KachelY 57171 0.40875794 0.39065871 23.420105 22.383095
    Oben rechts KachelX + 1 74064 KachelY 57171 0.40880588 0.39065871 23.422852 22.383095
    Unten links KachelX 74063 KachelY + 1 57172 0.40875794 0.39061438 23.420105 22.380555
    Unten rechts KachelX + 1 74064 KachelY + 1 57172 0.40880588 0.39061438 23.422852 22.380555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39065871-0.39061438) × R
    4.43300000000368e-05 × 6371000     		dl = 282.426430000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39065871-0.39061438) × R
    4.43300000000368e-05 × 6371000     		dr = 282.426430000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40875794-0.40880588) × cos(0.39065871) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.92465842530601 × 6371000     		do = 282.414483796465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40875794-0.40880588) × cos(0.39061438) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.924675305154155 × 6371000     		du = 282.419639336576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39065871)-sin(0.39061438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92465842530601-0.924675305154155)×R²
    abs(0.40880588-0.40875794)×1.6879848145579e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.6879848145579e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.6879848145579e-05×40589641000000     		ar = 79762.0424824581m²