Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74062 / 56646
↖ ↑ ↗
← N 23.709924°
E 23.417359°		 ← 279.59 m → N 23.709924°
E 23.420105°		 →
↑
279.62 m
↓
↑
279.62 m
↓
N 23.707409°
E 23.417359°		 ← 279.59 m →
78 180 m²		 N 23.707409°
E 23.420105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565052032470703 y=0.432178497314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565052032470703 × 217)
    floor (0.565052032470703 × 131072)
    floor (74062.5)     		tx = 74062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432178497314453 × 217)
    floor (0.432178497314453 × 131072)
    floor (56646.5)     		ty = 56646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74062 / 56646 ti = "17/74062/56646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74062/56646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74062 ÷ 217
    74062 ÷ 131072     		x = 0.565048217773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56646 ÷ 217
    56646 ÷ 131072     		y = 0.432174682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565048217773438 × 2 - 1) × π
    0.130096435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40871001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432174682617188 × 2 - 1) × π
    0.135650634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.426159037622299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40871001} λ = 0.40871001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.426159037622299))-π/2
    2×atan(1.5313643003051)-π/2
    2×0.992306283877354-π/2
    1.98461256775471-1.57079632675     		φ = 0.41381624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40871001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.417359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41381624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.709924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74062 KachelY 56646 0.40871001 0.41381624 23.417359 23.709924
    Oben rechts KachelX + 1 74063 KachelY 56646 0.40875794 0.41381624 23.420105 23.709924
    Unten links KachelX 74062 KachelY + 1 56647 0.40871001 0.41377235 23.417359 23.707409
    Unten rechts KachelX + 1 74063 KachelY + 1 56647 0.40875794 0.41377235 23.420105 23.707409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41381624-0.41377235) × R
    4.38899999999909e-05 × 6371000     		dl = 279.623189999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41381624-0.41377235) × R
    4.38899999999909e-05 × 6371000     		dr = 279.623189999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40871001-0.40875794) × cos(0.41381624) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.915592959324593 × 6371000     		do = 279.587324712912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40871001-0.40875794) × cos(0.41377235) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.915610606891301 × 6371000     		du = 279.592713609707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41381624)-sin(0.41377235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915592959324593-0.915610606891301)×R²
    abs(0.40875794-0.40871001)×1.76475667077458e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.76475667077458e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.76475667077458e-05×40589641000000     		ar = 78179.8530624778m²