Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74060 / 60784
↖ ↑ ↗
← N 12.940322°
E 23.411865°		 ← 297.67 m → N 12.940322°
E 23.414612°		 →
↑
297.65 m
↓
↑
297.65 m
↓
N 12.937645°
E 23.411865°		 ← 297.67 m →
88 603 m²		 N 12.937645°
E 23.414612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565036773681641 y=0.463748931884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565036773681641 × 217)
    floor (0.565036773681641 × 131072)
    floor (74060.5)     		tx = 74060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463748931884766 × 217)
    floor (0.463748931884766 × 131072)
    floor (60784.5)     		ty = 60784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74060 / 60784 ti = "17/74060/60784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74060/60784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74060 ÷ 217
    74060 ÷ 131072     		x = 0.565032958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60784 ÷ 217
    60784 ÷ 131072     		y = 0.4637451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565032958984375 × 2 - 1) × π
    0.13006591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40861413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4637451171875 × 2 - 1) × π
    0.072509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.227796146994507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40861413} λ = 0.40861413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.227796146994507))-π/2
    2×atan(1.2558292947608)-π/2
    2×0.898323777098772-π/2
    1.79664755419754-1.57079632675     		φ = 0.22585123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40861413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.411865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22585123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.940322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74060 KachelY 60784 0.40861413 0.22585123 23.411865 12.940322
    Oben rechts KachelX + 1 74061 KachelY 60784 0.40866207 0.22585123 23.414612 12.940322
    Unten links KachelX 74060 KachelY + 1 60785 0.40861413 0.22580451 23.411865 12.937645
    Unten rechts KachelX + 1 74061 KachelY + 1 60785 0.40866207 0.22580451 23.414612 12.937645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22585123-0.22580451) × R
    4.67199999999723e-05 × 6371000     		dl = 297.653119999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22585123-0.22580451) × R
    4.67199999999723e-05 × 6371000     		dr = 297.653119999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40861413-0.40866207) × cos(0.22585123) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974603839099006 × 6371000     		do = 297.66909876346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40861413-0.40866207) × cos(0.22580451) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974614300327839 × 6371000     		du = 297.672293892017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22585123)-sin(0.22580451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974603839099006-0.974614300327839)×R²
    abs(0.40866207-0.40861413)×1.04612288323036e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04612288323036e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04612288323036e-05×40589641000000     		ar = 88602.6115106229m²