Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7406 / 7445
↖ ↑ ↗
← S 81.234966°
E145.458984°		 ← 744.62 m → S 81.234966°
E145.502929°		 →
↑
744.32 m
↓
↑
744.32 m
↓
S 81.241660°
E145.458984°		 ← 744.05 m →
554 026 m²		 S 81.241660°
E145.502929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90411376953125 y=0.90887451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90411376953125 × 213)
    floor (0.90411376953125 × 8192)
    floor (7406.5)     		tx = 7406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90887451171875 × 213)
    floor (0.90887451171875 × 8192)
    floor (7445.5)     		ty = 7445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7406 / 7445 ti = "13/7406/7445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7406/7445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7406 ÷ 213
    7406 ÷ 8192     		x = 0.904052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7445 ÷ 213
    7445 ÷ 8192     		y = 0.9088134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904052734375 × 2 - 1) × π
    0.80810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.53873820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9088134765625 × 2 - 1) × π
    -0.817626953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56865082924109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53873820} λ = 2.53873820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56865082924109))-π/2
    2×atan(0.0766388746325143)-π/2
    2×0.0764893546245113-π/2
    0.152978709249023-1.57079632675     		φ = -1.41781762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53873820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41781762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.234966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7406 KachelY 7445 2.53873820 -1.41781762 145.458984 -81.234966
    Oben rechts KachelX + 1 7407 KachelY 7445 2.53950519 -1.41781762 145.502929 -81.234966
    Unten links KachelX 7406 KachelY + 1 7446 2.53873820 -1.41793445 145.458984 -81.241660
    Unten rechts KachelX + 1 7407 KachelY + 1 7446 2.53950519 -1.41793445 145.502929 -81.241660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41781762--1.41793445) × R
    0.000116830000000068 × 6371000     		dl = 744.323930000431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41781762--1.41793445) × R
    0.000116830000000068 × 6371000     		dr = 744.323930000431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53873820-2.53950519) × cos(-1.41781762) × R
    0.000766989999999801 × 0.152382724287716 × 6371000     		do = 744.617159743652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53873820-2.53950519) × cos(-1.41793445) × R
    0.000766989999999801 × 0.152267257640206 × 6371000     		du = 744.052932745374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41781762)-sin(-1.41793445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152382724287716-0.152267257640206)×R²
    abs(2.53950519-2.53873820)×0.000115466647510276×R²
    0.000766989999999801×0.000115466647510276×6371000²
    0.000766989999999801×0.000115466647510276×40589641000000     		ar = 554026.387487364m²