Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7406 / 4845
↖ ↑ ↗
← N 59.029250°
W 17.270508°		 ← 1 257.28 m → N 59.029250°
W 17.248535°		 →
↑
1 257.51 m
↓
↑
1 257.51 m
↓
N 59.017941°
W 17.270508°		 ← 1 257.69 m →
1 581 299 m²		 N 59.017941°
W 17.248535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452056884765625 y=0.295745849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452056884765625 × 214)
    floor (0.452056884765625 × 16384)
    floor (7406.5)     		tx = 7406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295745849609375 × 214)
    floor (0.295745849609375 × 16384)
    floor (4845.5)     		ty = 4845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7406 / 4845 ti = "14/7406/4845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7406/4845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7406 ÷ 214
    7406 ÷ 16384     		x = 0.4520263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4845 ÷ 214
    4845 ÷ 16384     		y = 0.29571533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.095947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30142722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29571533203125 × 2 - 1) × π
    0.4085693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28355842422662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30142722} λ = -0.30142722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28355842422662))-π/2
    2×atan(3.60946089355169)-π/2
    2×1.30052554134685-π/2
    2.6010510826937-1.57079632675     		φ = 1.03025476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30142722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.270508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03025476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.029250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7406 KachelY 4845 -0.30142722 1.03025476 -17.270508 59.029250
    Oben rechts KachelX + 1 7407 KachelY 4845 -0.30104373 1.03025476 -17.248535 59.029250
    Unten links KachelX 7406 KachelY + 1 4846 -0.30142722 1.03005738 -17.270508 59.017941
    Unten rechts KachelX + 1 7407 KachelY + 1 4846 -0.30104373 1.03005738 -17.248535 59.017941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03025476-1.03005738) × R
    0.000197380000000136 × 6371000     		dl = 1257.50798000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03025476-1.03005738) × R
    0.000197380000000136 × 6371000     		dr = 1257.50798000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30142722--0.30104373) × cos(1.03025476) × R
    0.000383489999999986 × 0.514600422775277 × 6371000     		do = 1257.27936386476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30142722--0.30104373) × cos(1.03005738) × R
    0.000383489999999986 × 0.514769652306471 × 6371000     		du = 1257.69282795828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03025476)-sin(1.03005738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514600422775277-0.514769652306471)×R²
    abs(-0.30104373--0.30142722)×0.000169229531194803×R²
    0.000383489999999986×0.000169229531194803×6371000²
    0.000383489999999986×0.000169229531194803×40589641000000     		ar = 1581298.80548192m²