Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7406 / 4843
↖ ↑ ↗
← N 59.051856°
W 17.270508°		 ← 1 256.45 m → N 59.051856°
W 17.248535°		 →
↑
1 256.68 m
↓
↑
1 256.68 m
↓
N 59.040555°
W 17.270508°		 ← 1 256.87 m →
1 579 218 m²		 N 59.040555°
W 17.248535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452056884765625 y=0.295623779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452056884765625 × 214)
    floor (0.452056884765625 × 16384)
    floor (7406.5)     		tx = 7406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295623779296875 × 214)
    floor (0.295623779296875 × 16384)
    floor (4843.5)     		ty = 4843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7406 / 4843 ti = "14/7406/4843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7406/4843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7406 ÷ 214
    7406 ÷ 16384     		x = 0.4520263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4843 ÷ 214
    4843 ÷ 16384     		y = 0.29559326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.095947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30142722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29559326171875 × 2 - 1) × π
    0.4088134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28432541462054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30142722} λ = -0.30142722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28432541462054))-π/2
    2×atan(3.61223037733224)-π/2
    2×1.30072282325615-π/2
    2.6014456465123-1.57079632675     		φ = 1.03064932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30142722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.270508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03064932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.051856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7406 KachelY 4843 -0.30142722 1.03064932 -17.270508 59.051856
    Oben rechts KachelX + 1 7407 KachelY 4843 -0.30104373 1.03064932 -17.248535 59.051856
    Unten links KachelX 7406 KachelY + 1 4844 -0.30142722 1.03045207 -17.270508 59.040555
    Unten rechts KachelX + 1 7407 KachelY + 1 4844 -0.30104373 1.03045207 -17.248535 59.040555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03064932-1.03045207) × R
    0.000197250000000038 × 6371000     		dl = 1256.67975000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03064932-1.03045207) × R
    0.000197250000000038 × 6371000     		dr = 1256.67975000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30142722--0.30104373) × cos(1.03064932) × R
    0.000383489999999986 × 0.514262075101365 × 6371000     		do = 1256.4527078237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30142722--0.30104373) × cos(1.03045207) × R
    0.000383489999999986 × 0.51443123322305 × 6371000     		du = 1256.86599744845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03064932)-sin(1.03045207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514262075101365-0.51443123322305)×R²
    abs(-0.30104373--0.30142722)×0.000169158121684276×R²
    0.000383489999999986×0.000169158121684276×6371000²
    0.000383489999999986×0.000169158121684276×40589641000000     		ar = 1579218.36622542m²