Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74059 / 60858
↖ ↑ ↗
← N 12.742159°
E 23.409119°		 ← 297.84 m → N 12.742159°
E 23.411865°		 →
↑
297.91 m
↓
↑
297.91 m
↓
N 12.739479°
E 23.409119°		 ← 297.84 m →
88 730 m²		 N 12.739479°
E 23.411865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565029144287109 y=0.464313507080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565029144287109 × 217)
    floor (0.565029144287109 × 131072)
    floor (74059.5)     		tx = 74059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464313507080078 × 217)
    floor (0.464313507080078 × 131072)
    floor (60858.5)     		ty = 60858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74059 / 60858 ti = "17/74059/60858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74059/60858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74059 ÷ 217
    74059 ÷ 131072     		x = 0.565025329589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60858 ÷ 217
    60858 ÷ 131072     		y = 0.464309692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565025329589844 × 2 - 1) × π
    0.130050659179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.40856620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464309692382812 × 2 - 1) × π
    0.071380615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.224248816422623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40856620} λ = 0.40856620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.224248816422623))-π/2
    2×atan(1.25138234517374)-π/2
    2×0.896594472779089-π/2
    1.79318894555818-1.57079632675     		φ = 0.22239262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40856620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.409119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22239262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.742159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74059 KachelY 60858 0.40856620 0.22239262 23.409119 12.742159
    Oben rechts KachelX + 1 74060 KachelY 60858 0.40861413 0.22239262 23.411865 12.742159
    Unten links KachelX 74059 KachelY + 1 60859 0.40856620 0.22234586 23.409119 12.739479
    Unten rechts KachelX + 1 74060 KachelY + 1 60859 0.40861413 0.22234586 23.411865 12.739479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22239262-0.22234586) × R
    4.67600000000068e-05 × 6371000     		dl = 297.907960000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22239262-0.22234586) × R
    4.67600000000068e-05 × 6371000     		dr = 297.907960000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40856620-0.40861413) × cos(0.22239262) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.975372515943205 × 6371000     		do = 297.841731474807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40856620-0.40861413) × cos(0.22234586) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.975382828447083 × 6371000     		du = 297.844880521925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22239262)-sin(0.22234586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975372515943205-0.975382828447083)×R²
    abs(0.40861413-0.40856620)×1.03125038782848e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.03125038782848e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.03125038782848e-05×40589641000000     		ar = 88729.8917058297m²