Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74059 / 57161
↖ ↑ ↗
← N 22.408489°
E 23.409119°		 ← 282.30 m → N 22.408489°
E 23.411865°		 →
↑
282.36 m
↓
↑
282.36 m
↓
N 22.405950°
E 23.409119°		 ← 282.31 m →
79 713 m²		 N 22.405950°
E 23.411865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565029144287109 y=0.436107635498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565029144287109 × 217)
    floor (0.565029144287109 × 131072)
    floor (74059.5)     		tx = 74059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436107635498047 × 217)
    floor (0.436107635498047 × 131072)
    floor (57161.5)     		ty = 57161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74059 / 57161 ti = "17/74059/57161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74059/57161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74059 ÷ 217
    74059 ÷ 131072     		x = 0.565025329589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57161 ÷ 217
    57161 ÷ 131072     		y = 0.436103820800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565025329589844 × 2 - 1) × π
    0.130050659179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.40856620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436103820800781 × 2 - 1) × π
    0.127792358398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.40147153431797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40856620} λ = 0.40856620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40147153431797))-π/2
    2×atan(1.4940215848813)-π/2
    2×0.980949123242739-π/2
    1.96189824648548-1.57079632675     		φ = 0.39110192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40856620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.409119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39110192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.408489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74059 KachelY 57161 0.40856620 0.39110192 23.409119 22.408489
    Oben rechts KachelX + 1 74060 KachelY 57161 0.40861413 0.39110192 23.411865 22.408489
    Unten links KachelX 74059 KachelY + 1 57162 0.40856620 0.39105760 23.409119 22.405950
    Unten rechts KachelX + 1 74060 KachelY + 1 57162 0.40861413 0.39105760 23.411865 22.405950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39110192-0.39105760) × R
    4.43199999999866e-05 × 6371000     		dl = 282.362719999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39110192-0.39105760) × R
    4.43199999999866e-05 × 6371000     		dr = 282.362719999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40856620-0.40861413) × cos(0.39110192) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.924489561198664 × 6371000     		do = 282.304009121606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40856620-0.40861413) × cos(0.39105760) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.924506455400879 × 6371000     		du = 282.30916796949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39110192)-sin(0.39105760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924489561198664-0.924506455400879)×R²
    abs(0.40861413-0.40856620)×1.68942022148455e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68942022148455e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68942022148455e-05×40589641000000     		ar = 79712.85622871m²