Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74057 / 57161
↖ ↑ ↗
← N 22.408489°
E 23.403625°		 ← 282.36 m → N 22.408489°
E 23.406372°		 →
↑
282.36 m
↓
↑
282.36 m
↓
N 22.405950°
E 23.403625°		 ← 282.37 m →
79 729 m²		 N 22.405950°
E 23.406372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565013885498047 y=0.436107635498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565013885498047 × 217)
    floor (0.565013885498047 × 131072)
    floor (74057.5)     		tx = 74057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436107635498047 × 217)
    floor (0.436107635498047 × 131072)
    floor (57161.5)     		ty = 57161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74057 / 57161 ti = "17/74057/57161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74057/57161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74057 ÷ 217
    74057 ÷ 131072     		x = 0.565010070800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57161 ÷ 217
    57161 ÷ 131072     		y = 0.436103820800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565010070800781 × 2 - 1) × π
    0.130020141601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.40847032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436103820800781 × 2 - 1) × π
    0.127792358398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.40147153431797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40847032} λ = 0.40847032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40147153431797))-π/2
    2×atan(1.4940215848813)-π/2
    2×0.980949123242739-π/2
    1.96189824648548-1.57079632675     		φ = 0.39110192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40847032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.403625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39110192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.408489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74057 KachelY 57161 0.40847032 0.39110192 23.403625 22.408489
    Oben rechts KachelX + 1 74058 KachelY 57161 0.40851826 0.39110192 23.406372 22.408489
    Unten links KachelX 74057 KachelY + 1 57162 0.40847032 0.39105760 23.403625 22.405950
    Unten rechts KachelX + 1 74058 KachelY + 1 57162 0.40851826 0.39105760 23.406372 22.405950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39110192-0.39105760) × R
    4.43199999999866e-05 × 6371000     		dl = 282.362719999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39110192-0.39105760) × R
    4.43199999999866e-05 × 6371000     		dr = 282.362719999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40847032-0.40851826) × cos(0.39110192) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.924489561198664 × 6371000     		do = 282.362908351519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40847032-0.40851826) × cos(0.39105760) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.924506455400879 × 6371000     		du = 282.368068275732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39110192)-sin(0.39105760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924489561198664-0.924506455400879)×R²
    abs(0.40851826-0.40847032)×1.68942022148455e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.68942022148455e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.68942022148455e-05×40589641000000     		ar = 79729.4873274346m²