Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74056 / 60585
↖ ↑ ↗
← N 13.472435°
E 23.400879°		 ← 297.02 m → N 13.472435°
E 23.403625°		 →
↑
297.02 m
↓
↑
297.02 m
↓
N 13.469764°
E 23.400879°		 ← 297.02 m →
88 221 m²		 N 13.469764°
E 23.403625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565006256103516 y=0.462230682373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565006256103516 × 217)
    floor (0.565006256103516 × 131072)
    floor (74056.5)     		tx = 74056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462230682373047 × 217)
    floor (0.462230682373047 × 131072)
    floor (60585.5)     		ty = 60585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74056 / 60585 ti = "17/74056/60585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74056/60585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74056 ÷ 217
    74056 ÷ 131072     		x = 0.56500244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60585 ÷ 217
    60585 ÷ 131072     		y = 0.462226867675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56500244140625 × 2 - 1) × π
    0.1300048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40842238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462226867675781 × 2 - 1) × π
    0.0755462646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.237335590018898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40842238} λ = 0.40842238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.237335590018898))-π/2
    2×atan(1.26786652974196)-π/2
    2×0.902967337527318-π/2
    1.80593467505464-1.57079632675     		φ = 0.23513835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40842238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.400879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23513835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.472435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74056 KachelY 60585 0.40842238 0.23513835 23.400879 13.472435
    Oben rechts KachelX + 1 74057 KachelY 60585 0.40847032 0.23513835 23.403625 13.472435
    Unten links KachelX 74056 KachelY + 1 60586 0.40842238 0.23509173 23.400879 13.469764
    Unten rechts KachelX + 1 74057 KachelY + 1 60586 0.40847032 0.23509173 23.403625 13.469764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23513835-0.23509173) × R
    4.66199999999972e-05 × 6371000     		dl = 297.016019999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23513835-0.23509173) × R
    4.66199999999972e-05 × 6371000     		dr = 297.016019999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40842238-0.40847032) × cos(0.23513835) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.972482118198387 × 6371000     		do = 297.021070587659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40842238-0.40847032) × cos(0.23509173) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.972492978554053 × 6371000     		du = 297.024387619825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23513835)-sin(0.23509173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972482118198387-0.972492978554053)×R²
    abs(0.40847032-0.40842238)×1.08603556664422e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.08603556664422e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.08603556664422e-05×40589641000000     		ar = 88220.5088639075m²