Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74055 / 60778
↖ ↑ ↗
← N 12.956383°
E 23.398132°		 ← 297.59 m → N 12.956383°
E 23.400879°		 →
↑
297.65 m
↓
↑
297.65 m
↓
N 12.953706°
E 23.398132°		 ← 297.59 m →
88 578 m²		 N 12.953706°
E 23.400879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564998626708984 y=0.463703155517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564998626708984 × 217)
    floor (0.564998626708984 × 131072)
    floor (74055.5)     		tx = 74055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463703155517578 × 217)
    floor (0.463703155517578 × 131072)
    floor (60778.5)     		ty = 60778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74055 / 60778 ti = "17/74055/60778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74055/60778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74055 ÷ 217
    74055 ÷ 131072     		x = 0.564994812011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60778 ÷ 217
    60778 ÷ 131072     		y = 0.463699340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564994812011719 × 2 - 1) × π
    0.129989624023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.40837445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463699340820312 × 2 - 1) × π
    0.072601318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.228083768392227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40837445} λ = 0.40837445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.228083768392227))-π/2
    2×atan(1.25619055008774)-π/2
    2×0.89846393104261-π/2
    1.79692786208522-1.57079632675     		φ = 0.22613154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40837445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.398132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22613154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.956383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74055 KachelY 60778 0.40837445 0.22613154 23.398132 12.956383
    Oben rechts KachelX + 1 74056 KachelY 60778 0.40842238 0.22613154 23.400879 12.956383
    Unten links KachelX 74055 KachelY + 1 60779 0.40837445 0.22608482 23.398132 12.953706
    Unten rechts KachelX + 1 74056 KachelY + 1 60779 0.40842238 0.22608482 23.400879 12.953706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22613154-0.22608482) × R
    4.67200000000001e-05 × 6371000     		dl = 297.653120000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22613154-0.22608482) × R
    4.67200000000001e-05 × 6371000     		dr = 297.653120000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40837445-0.40842238) × cos(0.22613154) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.974541029295086 × 6371000     		do = 297.587827023674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40837445-0.40842238) × cos(0.22608482) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.974551503287069 × 6371000     		du = 297.591025383128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22613154)-sin(0.22608482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974541029295086-0.974551503287069)×R²
    abs(0.40842238-0.40837445)×1.0473991982618e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.0473991982618e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.0473991982618e-05×40589641000000     		ar = 88578.4212045818m²