Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74055 / 60741
↖ ↑ ↗
← N 13.055399°
E 23.398132°		 ← 297.47 m → N 13.055399°
E 23.400879°		 →
↑
297.53 m
↓
↑
297.53 m
↓
N 13.052723°
E 23.398132°		 ← 297.47 m →
88 505 m²		 N 13.052723°
E 23.400879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564998626708984 y=0.463420867919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564998626708984 × 217)
    floor (0.564998626708984 × 131072)
    floor (74055.5)     		tx = 74055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463420867919922 × 217)
    floor (0.463420867919922 × 131072)
    floor (60741.5)     		ty = 60741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74055 / 60741 ti = "17/74055/60741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74055/60741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74055 ÷ 217
    74055 ÷ 131072     		x = 0.564994812011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60741 ÷ 217
    60741 ÷ 131072     		y = 0.463417053222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564994812011719 × 2 - 1) × π
    0.129989624023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.40837445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463417053222656 × 2 - 1) × π
    0.0731658935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.229857433678169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40837445} λ = 0.40837445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.229857433678169))-π/2
    2×atan(1.25842058874542)-π/2
    2×0.899328013587845-π/2
    1.79865602717569-1.57079632675     		φ = 0.22785970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40837445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.398132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22785970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.055399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74055 KachelY 60741 0.40837445 0.22785970 23.398132 13.055399
    Oben rechts KachelX + 1 74056 KachelY 60741 0.40842238 0.22785970 23.400879 13.055399
    Unten links KachelX 74055 KachelY + 1 60742 0.40837445 0.22781300 23.398132 13.052723
    Unten rechts KachelX + 1 74056 KachelY + 1 60742 0.40842238 0.22781300 23.400879 13.052723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22785970-0.22781300) × R
    4.67000000000106e-05 × 6371000     		dl = 297.525700000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22785970-0.22781300) × R
    4.67000000000106e-05 × 6371000     		dr = 297.525700000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40837445-0.40842238) × cos(0.22785970) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.974152104800867 × 6371000     		do = 297.469064250603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40837445-0.40842238) × cos(0.22781300) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.974162652944728 × 6371000     		du = 297.472285253225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22785970)-sin(0.22781300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974152104800867-0.974162652944728)×R²
    abs(0.40842238-0.40837445)×1.05481438618105e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.05481438618105e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.05481438618105e-05×40589641000000     		ar = 88505.1707511528m²