Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74055 / 60728
↖ ↑ ↗
← N 13.090179°
E 23.398132°		 ← 297.43 m → N 13.090179°
E 23.400879°		 →
↑
297.46 m
↓
↑
297.46 m
↓
N 13.087504°
E 23.398132°		 ← 297.43 m →
88 474 m²		 N 13.087504°
E 23.400879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564998626708984 y=0.463321685791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564998626708984 × 217)
    floor (0.564998626708984 × 131072)
    floor (74055.5)     		tx = 74055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463321685791016 × 217)
    floor (0.463321685791016 × 131072)
    floor (60728.5)     		ty = 60728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74055 / 60728 ti = "17/74055/60728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74055/60728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74055 ÷ 217
    74055 ÷ 131072     		x = 0.564994812011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60728 ÷ 217
    60728 ÷ 131072     		y = 0.46331787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564994812011719 × 2 - 1) × π
    0.129989624023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.40837445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46331787109375 × 2 - 1) × π
    0.0733642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.23048061337323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40837445} λ = 0.40837445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.23048061337323))-π/2
    2×atan(1.2592050553106)-π/2
    2×0.899631528111312-π/2
    1.79926305622262-1.57079632675     		φ = 0.22846673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40837445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.398132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22846673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.090179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74055 KachelY 60728 0.40837445 0.22846673 23.398132 13.090179
    Oben rechts KachelX + 1 74056 KachelY 60728 0.40842238 0.22846673 23.400879 13.090179
    Unten links KachelX 74055 KachelY + 1 60729 0.40837445 0.22842004 23.398132 13.087504
    Unten rechts KachelX + 1 74056 KachelY + 1 60729 0.40842238 0.22842004 23.400879 13.087504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22846673-0.22842004) × R
    4.66900000000159e-05 × 6371000     		dl = 297.461990000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22846673-0.22842004) × R
    4.66900000000159e-05 × 6371000     		dr = 297.461990000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40837445-0.40842238) × cos(0.22846673) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.974014801461761 × 6371000     		do = 297.427137024248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40837445-0.40842238) × cos(0.22842004) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.974025374954995 × 6371000     		du = 297.430365767606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22846673)-sin(0.22842004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974014801461761-0.974025374954995)×R²
    abs(0.40842238-0.40837445)×1.05734932344115e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.05734932344115e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.05734932344115e-05×40589641000000     		ar = 88473.7482895577m²