Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74054 / 60727
↖ ↑ ↗
← N 13.092855°
E 23.395386°		 ← 297.49 m → N 13.092855°
E 23.398132°		 →
↑
297.46 m
↓
↑
297.46 m
↓
N 13.090179°
E 23.395386°		 ← 297.49 m →
88 491 m²		 N 13.090179°
E 23.398132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564990997314453 y=0.463314056396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564990997314453 × 217)
    floor (0.564990997314453 × 131072)
    floor (74054.5)     		tx = 74054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463314056396484 × 217)
    floor (0.463314056396484 × 131072)
    floor (60727.5)     		ty = 60727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74054 / 60727 ti = "17/74054/60727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74054/60727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74054 ÷ 217
    74054 ÷ 131072     		x = 0.564987182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60727 ÷ 217
    60727 ÷ 131072     		y = 0.463310241699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564987182617188 × 2 - 1) × π
    0.129974365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40832651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463310241699219 × 2 - 1) × π
    0.0733795166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.23052855027285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40832651} λ = 0.40832651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.23052855027285))-π/2
    2×atan(1.25926541914376)-π/2
    2×0.899654873609459-π/2
    1.79930974721892-1.57079632675     		φ = 0.22851342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40832651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.395386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22851342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.092855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74054 KachelY 60727 0.40832651 0.22851342 23.395386 13.092855
    Oben rechts KachelX + 1 74055 KachelY 60727 0.40837445 0.22851342 23.398132 13.092855
    Unten links KachelX 74054 KachelY + 1 60728 0.40832651 0.22846673 23.395386 13.090179
    Unten rechts KachelX + 1 74055 KachelY + 1 60728 0.40837445 0.22846673 23.398132 13.090179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22851342-0.22846673) × R
    4.66899999999881e-05 × 6371000     		dl = 297.461989999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22851342-0.22846673) × R
    4.66899999999881e-05 × 6371000     		dr = 297.461989999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40832651-0.40837445) × cos(0.22851342) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.974004225845217 × 6371000     		do = 297.485961442052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40832651-0.40837445) × cos(0.22846673) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.974014801461761 × 6371000     		du = 297.489191507561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22851342)-sin(0.22846673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974004225845217-0.974014801461761)×R²
    abs(0.40837445-0.40832651)×1.05756165439397e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.05756165439397e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.05756165439397e-05×40589641000000     		ar = 88491.2465145149m²