Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74051 / 60741
↖ ↑ ↗
← N 13.055399°
E 23.387146°		 ← 297.53 m → N 13.055399°
E 23.389893°		 →
↑
297.53 m
↓
↑
297.53 m
↓
N 13.052723°
E 23.387146°		 ← 297.53 m →
88 524 m²		 N 13.052723°
E 23.389893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564968109130859 y=0.463420867919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564968109130859 × 217)
    floor (0.564968109130859 × 131072)
    floor (74051.5)     		tx = 74051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463420867919922 × 217)
    floor (0.463420867919922 × 131072)
    floor (60741.5)     		ty = 60741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74051 / 60741 ti = "17/74051/60741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74051/60741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74051 ÷ 217
    74051 ÷ 131072     		x = 0.564964294433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60741 ÷ 217
    60741 ÷ 131072     		y = 0.463417053222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564964294433594 × 2 - 1) × π
    0.129928588867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.40818270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463417053222656 × 2 - 1) × π
    0.0731658935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.229857433678169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40818270} λ = 0.40818270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.229857433678169))-π/2
    2×atan(1.25842058874542)-π/2
    2×0.899328013587845-π/2
    1.79865602717569-1.57079632675     		φ = 0.22785970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40818270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.387146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22785970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.055399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74051 KachelY 60741 0.40818270 0.22785970 23.387146 13.055399
    Oben rechts KachelX + 1 74052 KachelY 60741 0.40823064 0.22785970 23.389893 13.055399
    Unten links KachelX 74051 KachelY + 1 60742 0.40818270 0.22781300 23.387146 13.052723
    Unten rechts KachelX + 1 74052 KachelY + 1 60742 0.40823064 0.22781300 23.389893 13.052723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22785970-0.22781300) × R
    4.67000000000106e-05 × 6371000     		dl = 297.525700000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22785970-0.22781300) × R
    4.67000000000106e-05 × 6371000     		dr = 297.525700000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40818270-0.40823064) × cos(0.22785970) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974152104800867 × 6371000     		do = 297.531127481167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40818270-0.40823064) × cos(0.22781300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974162652944728 × 6371000     		du = 297.534349155812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22785970)-sin(0.22781300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974152104800867-0.974162652944728)×R²
    abs(0.40823064-0.40818270)×1.05481438618105e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05481438618105e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05481438618105e-05×40589641000000     		ar = 88523.636257246m²