Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74048 / 90567
↖ ↑ ↗
← S 56.473111°
E 23.378906°		 ← 168.70 m → S 56.473111°
E 23.381653°		 →
↑
168.64 m
↓
↑
168.64 m
↓
S 56.474628°
E 23.378906°		 ← 168.69 m →
28 448 m²		 S 56.474628°
E 23.381653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564945220947266 y=0.690975189208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564945220947266 × 217)
    floor (0.564945220947266 × 131072)
    floor (74048.5)     		tx = 74048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690975189208984 × 217)
    floor (0.690975189208984 × 131072)
    floor (90567.5)     		ty = 90567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74048 / 90567 ti = "17/74048/90567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74048/90567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74048 ÷ 217
    74048 ÷ 131072     		x = 0.56494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90567 ÷ 217
    90567 ÷ 131072     		y = 0.690971374511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56494140625 × 2 - 1) × π
    0.1298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40803889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690971374511719 × 2 - 1) × π
    -0.381942749023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.19990853438963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40803889} λ = 0.40803889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19990853438963))-π/2
    2×atan(0.301221762084563)-π/2
    2×0.29257729986864-π/2
    0.585154599737279-1.57079632675     		φ = -0.98564173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40803889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.378906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98564173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.473111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74048 KachelY 90567 0.40803889 -0.98564173 23.378906 -56.473111
    Oben rechts KachelX + 1 74049 KachelY 90567 0.40808683 -0.98564173 23.381653 -56.473111
    Unten links KachelX 74048 KachelY + 1 90568 0.40803889 -0.98566820 23.378906 -56.474628
    Unten rechts KachelX + 1 74049 KachelY + 1 90568 0.40808683 -0.98566820 23.381653 -56.474628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98564173--0.98566820) × R
    2.64700000000007e-05 × 6371000     		dl = 168.640370000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98564173--0.98566820) × R
    2.64700000000007e-05 × 6371000     		dr = 168.640370000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40803889-0.40808683) × cos(-0.98564173) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.55232826494723 × 6371000     		do = 168.695269044508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40803889-0.40808683) × cos(-0.98566820) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.552306198654783 × 6371000     		du = 168.688529430809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98564173)-sin(-0.98566820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55232826494723-0.552306198654783)×R²
    abs(0.40808683-0.40803889)×2.20662924468318e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20662924468318e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20662924468318e-05×40589641000000     		ar = 28448.2643050198m²