Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74048 / 90566
↖ ↑ ↗
← S 56.471594°
E 23.378906°		 ← 168.70 m → S 56.471594°
E 23.381653°		 →
↑
168.70 m
↓
↑
168.70 m
↓
S 56.473111°
E 23.378906°		 ← 168.70 m →
28 460 m²		 S 56.473111°
E 23.381653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564945220947266 y=0.690967559814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564945220947266 × 217)
    floor (0.564945220947266 × 131072)
    floor (74048.5)     		tx = 74048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690967559814453 × 217)
    floor (0.690967559814453 × 131072)
    floor (90566.5)     		ty = 90566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74048 / 90566 ti = "17/74048/90566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74048/90566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74048 ÷ 217
    74048 ÷ 131072     		x = 0.56494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90566 ÷ 217
    90566 ÷ 131072     		y = 0.690963745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56494140625 × 2 - 1) × π
    0.1298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40803889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690963745117188 × 2 - 1) × π
    -0.381927490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19986059749001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40803889} λ = 0.40803889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19986059749001))-π/2
    2×atan(0.301236202068037)-π/2
    2×0.292590538585511-π/2
    0.585181077171023-1.57079632675     		φ = -0.98561525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40803889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.378906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98561525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.471594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74048 KachelY 90566 0.40803889 -0.98561525 23.378906 -56.471594
    Oben rechts KachelX + 1 74049 KachelY 90566 0.40808683 -0.98561525 23.381653 -56.471594
    Unten links KachelX 74048 KachelY + 1 90567 0.40803889 -0.98564173 23.378906 -56.473111
    Unten rechts KachelX + 1 74049 KachelY + 1 90567 0.40808683 -0.98564173 23.381653 -56.473111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98561525--0.98564173) × R
    2.64799999999399e-05 × 6371000     		dl = 168.704079999617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98561525--0.98564173) × R
    2.64799999999399e-05 × 6371000     		dr = 168.704079999617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40803889-0.40808683) × cos(-0.98561525) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.552350339188802 × 6371000     		do = 168.702011086076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40803889-0.40808683) × cos(-0.98564173) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.55232826494723 × 6371000     		du = 168.695269044508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98561525)-sin(-0.98564173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552350339188802-0.55232826494723)×R²
    abs(0.40808683-0.40803889)×2.20742415728559e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20742415728559e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20742415728559e-05×40589641000000     		ar = 28460.1488710416m²