Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74048 / 56386
↖ ↑ ↗
← N 24.362110°
E 23.378906°		 ← 278.23 m → N 24.362110°
E 23.381653°		 →
↑
278.22 m
↓
↑
278.22 m
↓
N 24.359608°
E 23.378906°		 ← 278.24 m →
77 410 m²		 N 24.359608°
E 23.381653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564945220947266 y=0.430194854736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564945220947266 × 217)
    floor (0.564945220947266 × 131072)
    floor (74048.5)     		tx = 74048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430194854736328 × 217)
    floor (0.430194854736328 × 131072)
    floor (56386.5)     		ty = 56386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74048 / 56386 ti = "17/74048/56386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74048/56386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74048 ÷ 217
    74048 ÷ 131072     		x = 0.56494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56386 ÷ 217
    56386 ÷ 131072     		y = 0.430191040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56494140625 × 2 - 1) × π
    0.1298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40803889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430191040039062 × 2 - 1) × π
    0.139617919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.438622631523514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40803889} λ = 0.40803889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438622631523514))-π/2
    2×atan(1.55057004071389)-π/2
    2×0.997997676255491-π/2
    1.99599535251098-1.57079632675     		φ = 0.42519903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40803889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.378906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42519903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.362110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74048 KachelY 56386 0.40803889 0.42519903 23.378906 24.362110
    Oben rechts KachelX + 1 74049 KachelY 56386 0.40808683 0.42519903 23.381653 24.362110
    Unten links KachelX 74048 KachelY + 1 56387 0.40803889 0.42515536 23.378906 24.359608
    Unten rechts KachelX + 1 74049 KachelY + 1 56387 0.40808683 0.42515536 23.381653 24.359608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42519903-0.42515536) × R
    4.36699999999957e-05 × 6371000     		dl = 278.221569999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42519903-0.42515536) × R
    4.36699999999957e-05 × 6371000     		dr = 278.221569999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40803889-0.40808683) × cos(0.42519903) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.910956650704923 × 6371000     		do = 278.229609149612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40803889-0.40808683) × cos(0.42515536) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.910974663802892 × 6371000     		du = 278.235110813389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42519903)-sin(0.42515536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910956650704923-0.910974663802892)×R²
    abs(0.40808683-0.40803889)×1.80130979685611e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.80130979685611e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.80130979685611e-05×40589641000000     		ar = 77410.2440311674m²