Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74047 / 90433
↖ ↑ ↗
← S 56.269286°
E 23.376160°		 ← 169.60 m → S 56.269286°
E 23.378906°		 →
↑
169.60 m
↓
↑
169.60 m
↓
S 56.270811°
E 23.376160°		 ← 169.59 m →
28 763 m²		 S 56.270811°
E 23.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564937591552734 y=0.689952850341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564937591552734 × 217)
    floor (0.564937591552734 × 131072)
    floor (74047.5)     		tx = 74047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689952850341797 × 217)
    floor (0.689952850341797 × 131072)
    floor (90433.5)     		ty = 90433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74047 / 90433 ti = "17/74047/90433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74047/90433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74047 ÷ 217
    74047 ÷ 131072     		x = 0.564933776855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90433 ÷ 217
    90433 ÷ 131072     		y = 0.689949035644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564933776855469 × 2 - 1) × π
    0.129867553710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.40799095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689949035644531 × 2 - 1) × π
    -0.379898071289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.19348498984054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40799095} λ = 0.40799095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19348498984054))-π/2
    2×atan(0.303162901315039)-π/2
    2×0.29435600684154-π/2
    0.588712013683081-1.57079632675     		φ = -0.98208431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40799095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.376160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98208431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.269286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74047 KachelY 90433 0.40799095 -0.98208431 23.376160 -56.269286
    Oben rechts KachelX + 1 74048 KachelY 90433 0.40803889 -0.98208431 23.378906 -56.269286
    Unten links KachelX 74047 KachelY + 1 90434 0.40799095 -0.98211093 23.376160 -56.270811
    Unten rechts KachelX + 1 74048 KachelY + 1 90434 0.40803889 -0.98211093 23.378906 -56.270811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98208431--0.98211093) × R
    2.66200000000882e-05 × 6371000     		dl = 169.596020000562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98208431--0.98211093) × R
    2.66200000000882e-05 × 6371000     		dr = 169.596020000562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40799095-0.40803889) × cos(-0.98208431) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.555290324095777 × 6371000     		do = 169.599958151681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40799095-0.40803889) × cos(-0.98211093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.555268185201051 × 6371000     		du = 169.593196363377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98208431)-sin(-0.98211093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555290324095777-0.555268185201051)×R²
    abs(0.40803889-0.40799095)×2.21388947256873e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21388947256873e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21388947256873e-05×40589641000000     		ar = 28762.9045103014m²