Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74046 / 90432
↖ ↑ ↗
← S 56.267761°
E 23.373413°		 ← 169.57 m → S 56.267761°
E 23.376160°		 →
↑
169.60 m
↓
↑
169.60 m
↓
S 56.269286°
E 23.373413°		 ← 169.56 m →
28 758 m²		 S 56.269286°
E 23.376160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564929962158203 y=0.689945220947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564929962158203 × 217)
    floor (0.564929962158203 × 131072)
    floor (74046.5)     		tx = 74046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689945220947266 × 217)
    floor (0.689945220947266 × 131072)
    floor (90432.5)     		ty = 90432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74046 / 90432 ti = "17/74046/90432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74046/90432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74046 ÷ 217
    74046 ÷ 131072     		x = 0.564926147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90432 ÷ 217
    90432 ÷ 131072     		y = 0.68994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564926147460938 × 2 - 1) × π
    0.129852294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40794302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68994140625 × 2 - 1) × π
    -0.3798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19343705294092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40794302} λ = 0.40794302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19343705294092))-π/2
    2×atan(0.30317743435294)-π/2
    2×0.294369316555048-π/2
    0.588738633110095-1.57079632675     		φ = -0.98205769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40794302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.373413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98205769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.267761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74046 KachelY 90432 0.40794302 -0.98205769 23.373413 -56.267761
    Oben rechts KachelX + 1 74047 KachelY 90432 0.40799095 -0.98205769 23.376160 -56.267761
    Unten links KachelX 74046 KachelY + 1 90433 0.40794302 -0.98208431 23.373413 -56.269286
    Unten rechts KachelX + 1 74047 KachelY + 1 90433 0.40799095 -0.98208431 23.376160 -56.269286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98205769--0.98208431) × R
    2.66199999999772e-05 × 6371000     		dl = 169.596019999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98205769--0.98208431) × R
    2.66199999999772e-05 × 6371000     		dr = 169.596019999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40794302-0.40799095) × cos(-0.98205769) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.55531246259701 × 6371000     		do = 169.571340863026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40794302-0.40799095) × cos(-0.98208431) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.555290324095777 × 6371000     		du = 169.564580605348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98205769)-sin(-0.98208431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55531246259701-0.555290324095777)×R²
    abs(0.40799095-0.40794302)×2.21385012332265e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.21385012332265e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.21385012332265e-05×40589641000000     		ar = 28758.051261617m²