Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74046 / 90307
↖ ↑ ↗
← S 56.076634°
E 23.373413°		 ← 170.42 m → S 56.076634°
E 23.376160°		 →
↑
170.42 m
↓
↑
170.42 m
↓
S 56.078167°
E 23.373413°		 ← 170.41 m →
29 043 m²		 S 56.078167°
E 23.376160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564929962158203 y=0.688991546630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564929962158203 × 217)
    floor (0.564929962158203 × 131072)
    floor (74046.5)     		tx = 74046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688991546630859 × 217)
    floor (0.688991546630859 × 131072)
    floor (90307.5)     		ty = 90307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74046 / 90307 ti = "17/74046/90307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74046/90307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74046 ÷ 217
    74046 ÷ 131072     		x = 0.564926147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90307 ÷ 217
    90307 ÷ 131072     		y = 0.688987731933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564926147460938 × 2 - 1) × π
    0.129852294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40794302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688987731933594 × 2 - 1) × π
    -0.377975463867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.18744494048841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40794302} λ = 0.40794302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18744494048841))-π/2
    2×atan(0.304999561375641)-π/2
    2×0.296037213180868-π/2
    0.592074426361736-1.57079632675     		φ = -0.97872190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40794302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.373413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97872190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.076634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74046 KachelY 90307 0.40794302 -0.97872190 23.373413 -56.076634
    Oben rechts KachelX + 1 74047 KachelY 90307 0.40799095 -0.97872190 23.376160 -56.076634
    Unten links KachelX 74046 KachelY + 1 90308 0.40794302 -0.97874865 23.373413 -56.078167
    Unten rechts KachelX + 1 74047 KachelY + 1 90308 0.40799095 -0.97874865 23.376160 -56.078167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97872190--0.97874865) × R
    2.67499999999643e-05 × 6371000     		dl = 170.424249999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97872190--0.97874865) × R
    2.67499999999643e-05 × 6371000     		dr = 170.424249999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40794302-0.40799095) × cos(-0.97872190) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.558083550207319 × 6371000     		do = 170.417525801018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40794302-0.40799095) × cos(-0.97874865) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.558061353265271 × 6371000     		du = 170.410747697734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97872190)-sin(-0.97874865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558083550207319-0.558061353265271)×R²
    abs(0.40799095-0.40794302)×2.21969420484136e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.21969420484136e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.21969420484136e-05×40589641000000     		ar = 29042.7014466023m²