Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74045 / 90558
↖ ↑ ↗
← S 56.459455°
E 23.370667°		 ← 168.76 m → S 56.459455°
E 23.373413°		 →
↑
168.77 m
↓
↑
168.77 m
↓
S 56.460973°
E 23.370667°		 ← 168.75 m →
28 480 m²		 S 56.460973°
E 23.373413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564922332763672 y=0.690906524658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564922332763672 × 217)
    floor (0.564922332763672 × 131072)
    floor (74045.5)     		tx = 74045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690906524658203 × 217)
    floor (0.690906524658203 × 131072)
    floor (90558.5)     		ty = 90558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74045 / 90558 ti = "17/74045/90558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74045/90558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74045 ÷ 217
    74045 ÷ 131072     		x = 0.564918518066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90558 ÷ 217
    90558 ÷ 131072     		y = 0.690902709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564918518066406 × 2 - 1) × π
    0.129837036132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.40789508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690902709960938 × 2 - 1) × π
    -0.381805419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.19947710229305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40789508} λ = 0.40789508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19947710229305))-π/2
    2×atan(0.301351746858701)-π/2
    2×0.292696467366923-π/2
    0.585392934733846-1.57079632675     		φ = -0.98540339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40789508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.370667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98540339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.459455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74045 KachelY 90558 0.40789508 -0.98540339 23.370667 -56.459455
    Oben rechts KachelX + 1 74046 KachelY 90558 0.40794302 -0.98540339 23.373413 -56.459455
    Unten links KachelX 74045 KachelY + 1 90559 0.40789508 -0.98542988 23.370667 -56.460973
    Unten rechts KachelX + 1 74046 KachelY + 1 90559 0.40794302 -0.98542988 23.373413 -56.460973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98540339--0.98542988) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dl = 168.767789999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98540339--0.98542988) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dr = 168.767789999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40789508-0.40794302) × cos(-0.98540339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.552526935847087 × 6371000     		do = 168.755948250918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40789508-0.40794302) × cos(-0.98542988) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.552504856369566 × 6371000     		du = 168.749204610158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98540339)-sin(-0.98542988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552526935847087-0.552504856369566)×R²
    abs(0.40794302-0.40789508)×2.20794775216415e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20794775216415e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20794775216415e-05×40589641000000     		ar = 28479.9993826516m²