Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74045 / 60758
↖ ↑ ↗
← N 13.009910°
E 23.370667°		 ← 297.59 m → N 13.009910°
E 23.373413°		 →
↑
297.53 m
↓
↑
297.53 m
↓
N 13.007234°
E 23.370667°		 ← 297.59 m →
88 540 m²		 N 13.007234°
E 23.373413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564922332763672 y=0.463550567626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564922332763672 × 217)
    floor (0.564922332763672 × 131072)
    floor (74045.5)     		tx = 74045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463550567626953 × 217)
    floor (0.463550567626953 × 131072)
    floor (60758.5)     		ty = 60758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74045 / 60758 ti = "17/74045/60758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74045/60758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74045 ÷ 217
    74045 ÷ 131072     		x = 0.564918518066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60758 ÷ 217
    60758 ÷ 131072     		y = 0.463546752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564918518066406 × 2 - 1) × π
    0.129837036132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.40789508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463546752929688 × 2 - 1) × π
    0.072906494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.229042506384628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40789508} λ = 0.40789508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.229042506384628))-π/2
    2×atan(1.25739548521005)-π/2
    2×0.898931045523352-π/2
    1.7978620910467-1.57079632675     		φ = 0.22706576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40789508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.370667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22706576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.009910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74045 KachelY 60758 0.40789508 0.22706576 23.370667 13.009910
    Oben rechts KachelX + 1 74046 KachelY 60758 0.40794302 0.22706576 23.373413 13.009910
    Unten links KachelX 74045 KachelY + 1 60759 0.40789508 0.22701906 23.370667 13.007234
    Unten rechts KachelX + 1 74046 KachelY + 1 60759 0.40794302 0.22701906 23.373413 13.007234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22706576-0.22701906) × R
    4.67000000000106e-05 × 6371000     		dl = 297.525700000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22706576-0.22701906) × R
    4.67000000000106e-05 × 6371000     		dr = 297.525700000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40789508-0.40794302) × cos(0.22706576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974331143298015 × 6371000     		do = 297.585810446647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40789508-0.40794302) × cos(0.22701906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974341655319725 × 6371000     		du = 297.589021088657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22706576)-sin(0.22701906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974331143298015-0.974341655319725)×R²
    abs(0.40794302-0.40789508)×1.05120217098742e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05120217098742e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05120217098742e-05×40589641000000     		ar = 88539.9042035538m²