Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74044 / 55700
↖ ↑ ↗
← N 26.066652°
E 23.367920°		 ← 274.36 m → N 26.066652°
E 23.370667°		 →
↑
274.34 m
↓
↑
274.34 m
↓
N 26.064185°
E 23.367920°		 ← 274.36 m →
75 267 m²		 N 26.064185°
E 23.370667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564914703369141 y=0.424961090087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564914703369141 × 217)
    floor (0.564914703369141 × 131072)
    floor (74044.5)     		tx = 74044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424961090087891 × 217)
    floor (0.424961090087891 × 131072)
    floor (55700.5)     		ty = 55700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74044 / 55700 ti = "17/74044/55700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74044/55700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74044 ÷ 217
    74044 ÷ 131072     		x = 0.564910888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55700 ÷ 217
    55700 ÷ 131072     		y = 0.424957275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564910888671875 × 2 - 1) × π
    0.12982177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40784714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424957275390625 × 2 - 1) × π
    0.15008544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.471507344662872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40784714} λ = 0.40784714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.471507344662872))-π/2
    2×atan(1.60240775450251)-π/2
    2×1.01287261578649-π/2
    2.02574523157299-1.57079632675     		φ = 0.45494890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40784714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.367920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45494890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.066652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74044 KachelY 55700 0.40784714 0.45494890 23.367920 26.066652
    Oben rechts KachelX + 1 74045 KachelY 55700 0.40789508 0.45494890 23.370667 26.066652
    Unten links KachelX 74044 KachelY + 1 55701 0.40784714 0.45490584 23.367920 26.064185
    Unten rechts KachelX + 1 74045 KachelY + 1 55701 0.40789508 0.45490584 23.370667 26.064185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45494890-0.45490584) × R
    4.30599999999837e-05 × 6371000     		dl = 274.335259999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45494890-0.45490584) × R
    4.30599999999837e-05 × 6371000     		dr = 274.335259999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40784714-0.40789508) × cos(0.45494890) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.898283483530013 × 6371000     		do = 274.35889768707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40784714-0.40789508) × cos(0.45490584) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.898302403967929 × 6371000     		du = 274.364676475822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45494890)-sin(0.45490584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898283483530013-0.898302403967929)×R²
    abs(0.40789508-0.40784714)×1.89204379166252e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89204379166252e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89204379166252e-05×40589641000000     		ar = 75267.1122046269m²