Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74042 / 90571
↖ ↑ ↗
← S 56.479179°
E 23.362427°		 ← 168.67 m → S 56.479179°
E 23.365174°		 →
↑
168.64 m
↓
↑
168.64 m
↓
S 56.480695°
E 23.362427°		 ← 168.66 m →
28 444 m²		 S 56.480695°
E 23.365174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564899444580078 y=0.691005706787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564899444580078 × 217)
    floor (0.564899444580078 × 131072)
    floor (74042.5)     		tx = 74042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691005706787109 × 217)
    floor (0.691005706787109 × 131072)
    floor (90571.5)     		ty = 90571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74042 / 90571 ti = "17/74042/90571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74042/90571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74042 ÷ 217
    74042 ÷ 131072     		x = 0.564895629882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90571 ÷ 217
    90571 ÷ 131072     		y = 0.691001892089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564895629882812 × 2 - 1) × π
    0.129791259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40775127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691001892089844 × 2 - 1) × π
    -0.382003784179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.20010028198811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40775127} λ = 0.40775127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20010028198811))-π/2
    2×atan(0.301164009072251)-π/2
    2×0.292524350291315-π/2
    0.58504870058263-1.57079632675     		φ = -0.98574763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40775127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.362427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98574763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.479179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74042 KachelY 90571 0.40775127 -0.98574763 23.362427 -56.479179
    Oben rechts KachelX + 1 74043 KachelY 90571 0.40779921 -0.98574763 23.365174 -56.479179
    Unten links KachelX 74042 KachelY + 1 90572 0.40775127 -0.98577410 23.362427 -56.480695
    Unten rechts KachelX + 1 74043 KachelY + 1 90572 0.40779921 -0.98577410 23.365174 -56.480695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98574763--0.98577410) × R
    2.64700000000007e-05 × 6371000     		dl = 168.640370000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98574763--0.98577410) × R
    2.64700000000007e-05 × 6371000     		dr = 168.640370000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40775127-0.40779921) × cos(-0.98574763) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.552239980781924 × 6371000     		do = 168.66830478799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40775127-0.40779921) × cos(-0.98577410) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.55221791294136 × 6371000     		du = 168.661564701455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98574763)-sin(-0.98577410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552239980781924-0.55221791294136)×R²
    abs(0.40779921-0.40775127)×2.20678405639108e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20678405639108e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20678405639108e-05×40589641000000     		ar = 28443.7170029672m²