Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74042 / 55545
↖ ↑ ↗
← N 26.448443°
E 23.362427°		 ← 273.46 m → N 26.448443°
E 23.365174°		 →
↑
273.44 m
↓
↑
273.44 m
↓
N 26.445984°
E 23.362427°		 ← 273.46 m →
74 776 m²		 N 26.445984°
E 23.365174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564899444580078 y=0.423778533935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564899444580078 × 217)
    floor (0.564899444580078 × 131072)
    floor (74042.5)     		tx = 74042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423778533935547 × 217)
    floor (0.423778533935547 × 131072)
    floor (55545.5)     		ty = 55545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74042 / 55545 ti = "17/74042/55545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74042/55545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74042 ÷ 217
    74042 ÷ 131072     		x = 0.564895629882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55545 ÷ 217
    55545 ÷ 131072     		y = 0.423774719238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564895629882812 × 2 - 1) × π
    0.129791259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40775127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423774719238281 × 2 - 1) × π
    0.152450561523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.478937564103981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40775127} λ = 0.40775127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.478937564103981))-π/2
    2×atan(1.61435833850262)-π/2
    2×1.0162043707794-π/2
    2.0324087415588-1.57079632675     		φ = 0.46161241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40775127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.362427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46161241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.448443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74042 KachelY 55545 0.40775127 0.46161241 23.362427 26.448443
    Oben rechts KachelX + 1 74043 KachelY 55545 0.40779921 0.46161241 23.365174 26.448443
    Unten links KachelX 74042 KachelY + 1 55546 0.40775127 0.46156949 23.362427 26.445984
    Unten rechts KachelX + 1 74043 KachelY + 1 55546 0.40779921 0.46156949 23.365174 26.445984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46161241-0.46156949) × R
    4.29199999999463e-05 × 6371000     		dl = 273.443319999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46161241-0.46156949) × R
    4.29199999999463e-05 × 6371000     		dr = 273.443319999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40775127-0.40779921) × cos(0.46161241) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.895335506660586 × 6371000     		do = 273.458509670222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40775127-0.40779921) × cos(0.46156949) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.895354622074862 × 6371000     		du = 273.464348009772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46161241)-sin(0.46156949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895335506660586-0.895354622074862)×R²
    abs(0.40779921-0.40775127)×1.91154142763494e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91154142763494e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91154142763494e-05×40589641000000     		ar = 74776.2010053666m²