Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74041 / 56121
↖ ↑ ↗
← N 25.023395°
E 23.359680°		 ← 276.76 m → N 25.023395°
E 23.362427°		 →
↑
276.76 m
↓
↑
276.76 m
↓
N 25.020906°
E 23.359680°		 ← 276.76 m →
76 595 m²		 N 25.020906°
E 23.362427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564891815185547 y=0.428173065185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564891815185547 × 217)
    floor (0.564891815185547 × 131072)
    floor (74041.5)     		tx = 74041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428173065185547 × 217)
    floor (0.428173065185547 × 131072)
    floor (56121.5)     		ty = 56121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74041 / 56121 ti = "17/74041/56121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74041/56121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74041 ÷ 217
    74041 ÷ 131072     		x = 0.564888000488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56121 ÷ 217
    56121 ÷ 131072     		y = 0.428169250488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564888000488281 × 2 - 1) × π
    0.129776000976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.40770333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428169250488281 × 2 - 1) × π
    0.143661499023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.451325909922829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40770333} λ = 0.40770333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451325909922829))-π/2
    2×atan(1.57039300536402)-π/2
    2×1.00376848252004-π/2
    2.00753696504007-1.57079632675     		φ = 0.43674064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40770333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.359680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43674064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.023395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74041 KachelY 56121 0.40770333 0.43674064 23.359680 25.023395
    Oben rechts KachelX + 1 74042 KachelY 56121 0.40775127 0.43674064 23.362427 25.023395
    Unten links KachelX 74041 KachelY + 1 56122 0.40770333 0.43669720 23.359680 25.020906
    Unten rechts KachelX + 1 74042 KachelY + 1 56122 0.40775127 0.43669720 23.362427 25.020906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43674064-0.43669720) × R
    4.34400000000057e-05 × 6371000     		dl = 276.756240000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43674064-0.43669720) × R
    4.34400000000057e-05 × 6371000     		dr = 276.756240000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40770333-0.40775127) × cos(0.43674064) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.906135145039111 × 6371000     		do = 276.756997213717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40770333-0.40775127) × cos(0.43669720) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.906153518795749 × 6371000     		du = 276.762609031934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43674064)-sin(0.43669720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906135145039111-0.906153518795749)×R²
    abs(0.40775127-0.40770333)×1.83737566379349e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.83737566379349e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.83737566379349e-05×40589641000000     		ar = 76595.0025074508m²