Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74040 / 55544
↖ ↑ ↗
← N 26.450902°
E 23.356933°		 ← 273.45 m → N 26.450902°
E 23.359680°		 →
↑
273.44 m
↓
↑
273.44 m
↓
N 26.448443°
E 23.356933°		 ← 273.46 m →
74 775 m²		 N 26.448443°
E 23.359680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564884185791016 y=0.423770904541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564884185791016 × 217)
    floor (0.564884185791016 × 131072)
    floor (74040.5)     		tx = 74040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423770904541016 × 217)
    floor (0.423770904541016 × 131072)
    floor (55544.5)     		ty = 55544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74040 / 55544 ti = "17/74040/55544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74040/55544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74040 ÷ 217
    74040 ÷ 131072     		x = 0.56488037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55544 ÷ 217
    55544 ÷ 131072     		y = 0.42376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56488037109375 × 2 - 1) × π
    0.1297607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40765539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42376708984375 × 2 - 1) × π
    0.1524658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.478985501003601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40765539} λ = 0.40765539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.478985501003601))-π/2
    2×atan(1.61443572769113)-π/2
    2×1.01622583035441-π/2
    2.03245166070882-1.57079632675     		φ = 0.46165533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40765539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.356933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46165533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.450902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74040 KachelY 55544 0.40765539 0.46165533 23.356933 26.450902
    Oben rechts KachelX + 1 74041 KachelY 55544 0.40770333 0.46165533 23.359680 26.450902
    Unten links KachelX 74040 KachelY + 1 55545 0.40765539 0.46161241 23.356933 26.448443
    Unten rechts KachelX + 1 74041 KachelY + 1 55545 0.40770333 0.46161241 23.359680 26.448443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46165533-0.46161241) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dl = 273.443320000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46165533-0.46161241) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dr = 273.443320000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40765539-0.40770333) × cos(0.46165533) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895316389596988 × 6371000     		do = 273.452670826609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40765539-0.40770333) × cos(0.46161241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895335506660586 × 6371000     		du = 273.458509669905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46165533)-sin(0.46161241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895316389596988-0.895335506660586)×R²
    abs(0.40770333-0.40765539)×1.91170635975846e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91170635975846e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91170635975846e-05×40589641000000     		ar = 74774.6044814661m²