Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7404 / 3407
↖ ↑ ↗
← N 71.863070°
W 17.314453°		 ← 760.57 m → N 71.863070°
W 17.292480°		 →
↑
760.70 m
↓
↑
760.70 m
↓
N 71.856229°
W 17.314453°		 ← 760.84 m →
578 666 m²		 N 71.856229°
W 17.292480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451934814453125 y=0.207977294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451934814453125 × 214)
    floor (0.451934814453125 × 16384)
    floor (7404.5)     		tx = 7404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207977294921875 × 214)
    floor (0.207977294921875 × 16384)
    floor (3407.5)     		ty = 3407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7404 / 3407 ti = "14/7404/3407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7404/3407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7404 ÷ 214
    7404 ÷ 16384     		x = 0.451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3407 ÷ 214
    3407 ÷ 16384     		y = 0.20794677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.09619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30219422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20794677734375 × 2 - 1) × π
    0.5841064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.83502451745575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30219422} λ = -0.30219422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83502451745575))-π/2
    2×atan(6.26528775246791)-π/2
    2×1.41252175421664-π/2
    2.82504350843328-1.57079632675     		φ = 1.25424718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30219422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.314453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25424718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.863070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7404 KachelY 3407 -0.30219422 1.25424718 -17.314453 71.863070
    Oben rechts KachelX + 1 7405 KachelY 3407 -0.30181072 1.25424718 -17.292480 71.863070
    Unten links KachelX 7404 KachelY + 1 3408 -0.30219422 1.25412778 -17.314453 71.856229
    Unten rechts KachelX + 1 7405 KachelY + 1 3408 -0.30181072 1.25412778 -17.292480 71.856229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25424718-1.25412778) × R
    0.000119399999999992 × 6371000     		dl = 760.697399999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25424718-1.25412778) × R
    0.000119399999999992 × 6371000     		dr = 760.697399999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30219422--0.30181072) × cos(1.25424718) × R
    0.000383500000000037 × 0.311289022044111 × 6371000     		do = 760.565774846475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30219422--0.30181072) × cos(1.25412778) × R
    0.000383500000000037 × 0.311402487470188 × 6371000     		du = 760.843002482503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25424718)-sin(1.25412778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311289022044111-0.311402487470188)×R²
    abs(-0.30181072--0.30219422)×0.000113465426077097×R²
    0.000383500000000037×0.000113465426077097×6371000²
    0.000383500000000037×0.000113465426077097×40589641000000     		ar = 578665.851312249m²