Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7404 / 10731
↖ ↑ ↗
← S 48.618385°
W 17.314453°		 ← 1 615.18 m → S 48.618385°
W 17.292480°		 →
↑
1 614.92 m
↓
↑
1 614.92 m
↓
S 48.632909°
W 17.314453°		 ← 1 614.72 m →
2 608 014 m²		 S 48.632909°
W 17.292480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451934814453125 y=0.654998779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451934814453125 × 214)
    floor (0.451934814453125 × 16384)
    floor (7404.5)     		tx = 7404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654998779296875 × 214)
    floor (0.654998779296875 × 16384)
    floor (10731.5)     		ty = 10731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7404 / 10731 ti = "14/7404/10731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7404/10731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7404 ÷ 214
    7404 ÷ 16384     		x = 0.451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10731 ÷ 214
    10731 ÷ 16384     		y = 0.65496826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.09619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30219422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65496826171875 × 2 - 1) × π
    -0.3099365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.973694305082581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30219422} λ = -0.30219422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.973694305082581))-π/2
    2×atan(0.377685173368236)-π/2
    2×0.361122714149657-π/2
    0.722245428299315-1.57079632675     		φ = -0.84855090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30219422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.314453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84855090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.618385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7404 KachelY 10731 -0.30219422 -0.84855090 -17.314453 -48.618385
    Oben rechts KachelX + 1 7405 KachelY 10731 -0.30181072 -0.84855090 -17.292480 -48.618385
    Unten links KachelX 7404 KachelY + 1 10732 -0.30219422 -0.84880438 -17.314453 -48.632909
    Unten rechts KachelX + 1 7405 KachelY + 1 10732 -0.30181072 -0.84880438 -17.292480 -48.632909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84855090--0.84880438) × R
    0.000253480000000028 × 6371000     		dl = 1614.92108000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84855090--0.84880438) × R
    0.000253480000000028 × 6371000     		dr = 1614.92108000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30219422--0.30181072) × cos(-0.84855090) × R
    0.000383500000000037 × 0.661071132992903 × 6371000     		do = 1615.18088621235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30219422--0.30181072) × cos(-0.84880438) × R
    0.000383500000000037 × 0.6608809198237 × 6371000     		du = 1614.71614246562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84855090)-sin(-0.84880438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661071132992903-0.6608809198237)×R²
    abs(-0.30181072--0.30219422)×0.000190213169202869×R²
    0.000383500000000037×0.000190213169202869×6371000²
    0.000383500000000037×0.000190213169202869×40589641000000     		ar = 2608014.41288652m²