Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7404 / 10219
↖ ↑ ↗
← S 40.630630°
W 17.314453°		 ← 1 854.26 m → S 40.630630°
W 17.292480°		 →
↑
1 854.02 m
↓
↑
1 854.02 m
↓
S 40.647304°
W 17.314453°		 ← 1 853.80 m →
3 437 416 m²		 S 40.647304°
W 17.292480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451934814453125 y=0.623748779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451934814453125 × 214)
    floor (0.451934814453125 × 16384)
    floor (7404.5)     		tx = 7404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623748779296875 × 214)
    floor (0.623748779296875 × 16384)
    floor (10219.5)     		ty = 10219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7404 / 10219 ti = "14/7404/10219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7404/10219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7404 ÷ 214
    7404 ÷ 16384     		x = 0.451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10219 ÷ 214
    10219 ÷ 16384     		y = 0.62371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.09619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30219422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62371826171875 × 2 - 1) × π
    -0.2474365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.777344764238831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30219422} λ = -0.30219422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.777344764238831))-π/2
    2×atan(0.459624804715431)-π/2
    2×0.430829027343121-π/2
    0.861658054686241-1.57079632675     		φ = -0.70913827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30219422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.314453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70913827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.630630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7404 KachelY 10219 -0.30219422 -0.70913827 -17.314453 -40.630630
    Oben rechts KachelX + 1 7405 KachelY 10219 -0.30181072 -0.70913827 -17.292480 -40.630630
    Unten links KachelX 7404 KachelY + 1 10220 -0.30219422 -0.70942928 -17.314453 -40.647304
    Unten rechts KachelX + 1 7405 KachelY + 1 10220 -0.30181072 -0.70942928 -17.292480 -40.647304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70913827--0.70942928) × R
    0.000291010000000091 × 6371000     		dl = 1854.02471000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70913827--0.70942928) × R
    0.000291010000000091 × 6371000     		dr = 1854.02471000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30219422--0.30181072) × cos(-0.70913827) × R
    0.000383500000000037 × 0.758923299064862 × 6371000     		do = 1854.26097975443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30219422--0.30181072) × cos(-0.70942928) × R
    0.000383500000000037 × 0.758733767032798 × 6371000     		du = 1853.79790021542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70913827)-sin(-0.70942928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758923299064862-0.758733767032798)×R²
    abs(-0.30181072--0.30219422)×0.000189532032063955×R²
    0.000383500000000037×0.000189532032063955×6371000²
    0.000383500000000037×0.000189532032063955×40589641000000     		ar = 3437416.41905829m²