Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74038 / 90418
↖ ↑ ↗
← S 56.246402°
E 23.351440°		 ← 169.70 m → S 56.246402°
E 23.354187°		 →
↑
169.66 m
↓
↑
169.66 m
↓
S 56.247928°
E 23.351440°		 ← 169.69 m →
28 791 m²		 S 56.247928°
E 23.354187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564868927001953 y=0.689838409423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564868927001953 × 217)
    floor (0.564868927001953 × 131072)
    floor (74038.5)     		tx = 74038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689838409423828 × 217)
    floor (0.689838409423828 × 131072)
    floor (90418.5)     		ty = 90418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74038 / 90418 ti = "17/74038/90418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74038/90418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74038 ÷ 217
    74038 ÷ 131072     		x = 0.564865112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90418 ÷ 217
    90418 ÷ 131072     		y = 0.689834594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564865112304688 × 2 - 1) × π
    0.129730224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40755952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689834594726562 × 2 - 1) × π
    -0.379669189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19276593634624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40755952} λ = 0.40755952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19276593634624))-π/2
    2×atan(0.30338097005072)-π/2
    2×0.294555708264579-π/2
    0.589111416529158-1.57079632675     		φ = -0.98168491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40755952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.351440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98168491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.246402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74038 KachelY 90418 0.40755952 -0.98168491 23.351440 -56.246402
    Oben rechts KachelX + 1 74039 KachelY 90418 0.40760746 -0.98168491 23.354187 -56.246402
    Unten links KachelX 74038 KachelY + 1 90419 0.40755952 -0.98171154 23.351440 -56.247928
    Unten rechts KachelX + 1 74039 KachelY + 1 90419 0.40760746 -0.98171154 23.354187 -56.247928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98168491--0.98171154) × R
    2.66300000000275e-05 × 6371000     		dl = 169.659730000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98168491--0.98171154) × R
    2.66300000000275e-05 × 6371000     		dr = 169.659730000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40755952-0.40760746) × cos(-0.98168491) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.555622443432279 × 6371000     		do = 169.701395945801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40755952-0.40760746) × cos(-0.98171154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.555600302128568 × 6371000     		du = 169.69463342173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98168491)-sin(-0.98171154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555622443432279-0.555600302128568)×R²
    abs(0.40760746-0.40755952)×2.21413037105878e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21413037105878e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21413037105878e-05×40589641000000     		ar = 28790.9193545865m²