Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74038 / 60730
↖ ↑ ↗
← N 13.084829°
E 23.351440°		 ← 297.50 m → N 13.084829°
E 23.354187°		 →
↑
297.53 m
↓
↑
297.53 m
↓
N 13.082153°
E 23.351440°		 ← 297.50 m →
88 513 m²		 N 13.082153°
E 23.354187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564868927001953 y=0.463336944580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564868927001953 × 217)
    floor (0.564868927001953 × 131072)
    floor (74038.5)     		tx = 74038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463336944580078 × 217)
    floor (0.463336944580078 × 131072)
    floor (60730.5)     		ty = 60730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74038 / 60730 ti = "17/74038/60730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74038/60730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74038 ÷ 217
    74038 ÷ 131072     		x = 0.564865112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60730 ÷ 217
    60730 ÷ 131072     		y = 0.463333129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564865112304688 × 2 - 1) × π
    0.129730224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40755952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463333129882812 × 2 - 1) × π
    0.073333740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.23038473957399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40755952} λ = 0.40755952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.23038473957399))-π/2
    2×atan(1.25908433632491)-π/2
    2×0.899584836354679-π/2
    1.79916967270936-1.57079632675     		φ = 0.22837335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40755952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.351440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22837335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.084829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74038 KachelY 60730 0.40755952 0.22837335 23.351440 13.084829
    Oben rechts KachelX + 1 74039 KachelY 60730 0.40760746 0.22837335 23.354187 13.084829
    Unten links KachelX 74038 KachelY + 1 60731 0.40755952 0.22832665 23.351440 13.082153
    Unten rechts KachelX + 1 74039 KachelY + 1 60731 0.40760746 0.22832665 23.354187 13.082153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22837335-0.22832665) × R
    4.67000000000106e-05 × 6371000     		dl = 297.525700000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22837335-0.22832665) × R
    4.67000000000106e-05 × 6371000     		dr = 297.525700000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40755952-0.40760746) × cos(0.22837335) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974035946324897 × 6371000     		do = 297.495649692687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40755952-0.40760746) × cos(0.22832665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974046517834923 × 6371000     		du = 297.498878503959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22837335)-sin(0.22832665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974035946324897-0.974046517834923)×R²
    abs(0.40760746-0.40755952)×1.05715100254811e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05715100254811e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05715100254811e-05×40589641000000     		ar = 88513.0817650496m²