Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74032 / 56112
↖ ↑ ↗
← N 25.045792°
E 23.334961°		 ← 276.71 m → N 25.045792°
E 23.337708°		 →
↑
276.69 m
↓
↑
276.69 m
↓
N 25.043304°
E 23.334961°		 ← 276.71 m →
76 563 m²		 N 25.043304°
E 23.337708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564823150634766 y=0.428104400634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564823150634766 × 217)
    floor (0.564823150634766 × 131072)
    floor (74032.5)     		tx = 74032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428104400634766 × 217)
    floor (0.428104400634766 × 131072)
    floor (56112.5)     		ty = 56112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74032 / 56112 ti = "17/74032/56112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74032/56112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74032 ÷ 217
    74032 ÷ 131072     		x = 0.5648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56112 ÷ 217
    56112 ÷ 131072     		y = 0.4281005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5648193359375 × 2 - 1) × π
    0.129638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40727190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4281005859375 × 2 - 1) × π
    0.143798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.451757342019409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40727190} λ = 0.40727190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451757342019409))-π/2
    2×atan(1.57107066948329)-π/2
    2×1.00396393257347-π/2
    2.00792786514694-1.57079632675     		φ = 0.43713154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40727190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.334961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43713154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.045792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74032 KachelY 56112 0.40727190 0.43713154 23.334961 25.045792
    Oben rechts KachelX + 1 74033 KachelY 56112 0.40731984 0.43713154 23.337708 25.045792
    Unten links KachelX 74032 KachelY + 1 56113 0.40727190 0.43708811 23.334961 25.043304
    Unten rechts KachelX + 1 74033 KachelY + 1 56113 0.40731984 0.43708811 23.337708 25.043304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43713154-0.43708811) × R
    4.3430000000011e-05 × 6371000     		dl = 276.69253000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43713154-0.43708811) × R
    4.3430000000011e-05 × 6371000     		dr = 276.69253000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40727190-0.40731984) × cos(0.43713154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.905969729688246 × 6371000     		do = 276.706475107451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40727190-0.40731984) × cos(0.43708811) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.90598811459741 × 6371000     		du = 276.712090331937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43713154)-sin(0.43708811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905969729688246-0.90598811459741)×R²
    abs(0.40731984-0.40727190)×1.83849091639487e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83849091639487e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83849091639487e-05×40589641000000     		ar = 76563.3915221767m²