Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74031 / 56910
↖ ↑ ↗
← N 23.044353°
E 23.332214°		 ← 281.05 m → N 23.044353°
E 23.334961°		 →
↑
281.02 m
↓
↑
281.02 m
↓
N 23.041825°
E 23.332214°		 ← 281.06 m →
78 984 m²		 N 23.041825°
E 23.334961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564815521240234 y=0.434192657470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564815521240234 × 217)
    floor (0.564815521240234 × 131072)
    floor (74031.5)     		tx = 74031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434192657470703 × 217)
    floor (0.434192657470703 × 131072)
    floor (56910.5)     		ty = 56910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74031 / 56910 ti = "17/74031/56910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74031/56910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74031 ÷ 217
    74031 ÷ 131072     		x = 0.564811706542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56910 ÷ 217
    56910 ÷ 131072     		y = 0.434188842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564811706542969 × 2 - 1) × π
    0.129623413085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.40722396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434188842773438 × 2 - 1) × π
    0.131622314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.413503696122604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40722396} λ = 0.40722396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.413503696122604))-π/2
    2×atan(1.51210647631718)-π/2
    2×0.986498077378957-π/2
    1.97299615475791-1.57079632675     		φ = 0.40219983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40722396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.332214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40219983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.044353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74031 KachelY 56910 0.40722396 0.40219983 23.332214 23.044353
    Oben rechts KachelX + 1 74032 KachelY 56910 0.40727190 0.40219983 23.334961 23.044353
    Unten links KachelX 74031 KachelY + 1 56911 0.40722396 0.40215572 23.332214 23.041825
    Unten rechts KachelX + 1 74032 KachelY + 1 56911 0.40727190 0.40215572 23.334961 23.041825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40219983-0.40215572) × R
    4.41099999999861e-05 × 6371000     		dl = 281.024809999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40219983-0.40215572) × R
    4.41099999999861e-05 × 6371000     		dr = 281.024809999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40722396-0.40727190) × cos(0.40219983) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.920202111919608 × 6371000     		do = 281.05341098275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40722396-0.40727190) × cos(0.40215572) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.920219377600527 × 6371000     		du = 281.058684366121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40219983)-sin(0.40215572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920202111919608-0.920219377600527)×R²
    abs(0.40727190-0.40722396)×1.72656809181992e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.72656809181992e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.72656809181992e-05×40589641000000     		ar = 78983.7224097586m²