Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7403 / 5658
↖ ↑ ↗
← N 48.545706°
W 17.336426°		 ← 1 617.46 m → N 48.545706°
W 17.314453°		 →
↑
1 617.72 m
↓
↑
1 617.72 m
↓
N 48.531157°
W 17.336426°		 ← 1 617.93 m →
2 616 985 m²		 N 48.531157°
W 17.314453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451873779296875 y=0.345367431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451873779296875 × 214)
    floor (0.451873779296875 × 16384)
    floor (7403.5)     		tx = 7403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345367431640625 × 214)
    floor (0.345367431640625 × 16384)
    floor (5658.5)     		ty = 5658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7403 / 5658 ti = "14/7403/5658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7403/5658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7403 ÷ 214
    7403 ÷ 16384     		x = 0.45184326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5658 ÷ 214
    5658 ÷ 16384     		y = 0.3453369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45184326171875 × 2 - 1) × π
    -0.0963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30257771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3453369140625 × 2 - 1) × π
    0.309326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.971776829097778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30257771} λ = -0.30257771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971776829097778))-π/2
    2×atan(2.64263580245106)-π/2
    2×1.20903936265637-π/2
    2.41807872531274-1.57079632675     		φ = 0.84728240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30257771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.336426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84728240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.545706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7403 KachelY 5658 -0.30257771 0.84728240 -17.336426 48.545706
    Oben rechts KachelX + 1 7404 KachelY 5658 -0.30219422 0.84728240 -17.314453 48.545706
    Unten links KachelX 7403 KachelY + 1 5659 -0.30257771 0.84702848 -17.336426 48.531157
    Unten rechts KachelX + 1 7404 KachelY + 1 5659 -0.30219422 0.84702848 -17.314453 48.531157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84728240-0.84702848) × R
    0.000253920000000019 × 6371000     		dl = 1617.72432000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84728240-0.84702848) × R
    0.000253920000000019 × 6371000     		dr = 1617.72432000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30257771--0.30219422) × cos(0.84728240) × R
    0.000383489999999986 × 0.662022385899222 × 6371000     		do = 1617.46288454001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30257771--0.30219422) × cos(0.84702848) × R
    0.000383489999999986 × 0.662212673548365 × 6371000     		du = 1617.92779813875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84728240)-sin(0.84702848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662022385899222-0.662212673548365)×R²
    abs(-0.30219422--0.30257771)×0.000190287649143306×R²
    0.000383489999999986×0.000190287649143306×6371000²
    0.000383489999999986×0.000190287649143306×40589641000000     		ar = 2616985.11009512m²