Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7403 / 10730
↖ ↑ ↗
← S 48.603857°
W 17.336426°		 ← 1 615.60 m → S 48.603857°
W 17.314453°		 →
↑
1 615.43 m
↓
↑
1 615.43 m
↓
S 48.618385°
W 17.336426°		 ← 1 615.14 m →
2 609 520 m²		 S 48.618385°
W 17.314453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451873779296875 y=0.654937744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451873779296875 × 214)
    floor (0.451873779296875 × 16384)
    floor (7403.5)     		tx = 7403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654937744140625 × 214)
    floor (0.654937744140625 × 16384)
    floor (10730.5)     		ty = 10730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7403 / 10730 ti = "14/7403/10730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7403/10730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7403 ÷ 214
    7403 ÷ 16384     		x = 0.45184326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10730 ÷ 214
    10730 ÷ 16384     		y = 0.6549072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45184326171875 × 2 - 1) × π
    -0.0963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30257771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6549072265625 × 2 - 1) × π
    -0.309814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.97331080988562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30257771} λ = -0.30257771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.97331080988562))-π/2
    2×atan(0.377830041594545)-π/2
    2×0.361249491189569-π/2
    0.722498982379139-1.57079632675     		φ = -0.84829734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30257771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.336426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84829734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.603857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7403 KachelY 10730 -0.30257771 -0.84829734 -17.336426 -48.603857
    Oben rechts KachelX + 1 7404 KachelY 10730 -0.30219422 -0.84829734 -17.314453 -48.603857
    Unten links KachelX 7403 KachelY + 1 10731 -0.30257771 -0.84855090 -17.336426 -48.618385
    Unten rechts KachelX + 1 7404 KachelY + 1 10731 -0.30219422 -0.84855090 -17.314453 -48.618385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84829734--0.84855090) × R
    0.000253559999999986 × 6371000     		dl = 1615.43075999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84829734--0.84855090) × R
    0.000253559999999986 × 6371000     		dr = 1615.43075999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30257771--0.30219422) × cos(-0.84829734) × R
    0.000383489999999986 × 0.661261363699339 × 6371000     		do = 1615.60354384574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30257771--0.30219422) × cos(-0.84855090) × R
    0.000383489999999986 × 0.661071132992903 × 6371000     		du = 1615.13876937026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84829734)-sin(-0.84855090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661261363699339-0.661071132992903)×R²
    abs(-0.30219422--0.30257771)×0.000190230706436867×R²
    0.000383489999999986×0.000190230706436867×6371000²
    0.000383489999999986×0.000190230706436867×40589641000000     		ar = 2609520.26918218m²