Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74025 / 60520
↖ ↑ ↗
← N 13.645987°
E 23.315735°		 ← 296.80 m → N 13.645987°
E 23.318482°		 →
↑
296.76 m
↓
↑
296.76 m
↓
N 13.643318°
E 23.315735°		 ← 296.81 m →
88 080 m²		 N 13.643318°
E 23.318482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564769744873047 y=0.461734771728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564769744873047 × 217)
    floor (0.564769744873047 × 131072)
    floor (74025.5)     		tx = 74025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461734771728516 × 217)
    floor (0.461734771728516 × 131072)
    floor (60520.5)     		ty = 60520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74025 / 60520 ti = "17/74025/60520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74025/60520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74025 ÷ 217
    74025 ÷ 131072     		x = 0.564765930175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60520 ÷ 217
    60520 ÷ 131072     		y = 0.46173095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564765930175781 × 2 - 1) × π
    0.129531860351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.40693634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46173095703125 × 2 - 1) × π
    0.0765380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.240451488494202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40693634} λ = 0.40693634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240451488494202))-π/2
    2×atan(1.27182323427244)-π/2
    2×0.904481863195763-π/2
    1.80896372639153-1.57079632675     		φ = 0.23816740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40693634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.315735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23816740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.645987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74025 KachelY 60520 0.40693634 0.23816740 23.315735 13.645987
    Oben rechts KachelX + 1 74026 KachelY 60520 0.40698428 0.23816740 23.318482 13.645987
    Unten links KachelX 74025 KachelY + 1 60521 0.40693634 0.23812082 23.315735 13.643318
    Unten rechts KachelX + 1 74026 KachelY + 1 60521 0.40698428 0.23812082 23.318482 13.643318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23816740-0.23812082) × R
    4.65799999999905e-05 × 6371000     		dl = 296.76117999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23816740-0.23812082) × R
    4.65799999999905e-05 × 6371000     		dr = 296.76117999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40693634-0.40698428) × cos(0.23816740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971771957360066 × 6371000     		do = 296.804169187752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40693634-0.40698428) × cos(0.23812082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971782945559784 × 6371000     		du = 296.807525266782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23816740)-sin(0.23812082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971771957360066-0.971782945559784)×R²
    abs(0.40698428-0.40693634)×1.09881997182315e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09881997182315e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09881997182315e-05×40589641000000     		ar = 88080.453469964m²