Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74023 / 90601
↖ ↑ ↗
← S 56.524655°
E 23.310242°		 ← 168.43 m → S 56.524655°
E 23.312988°		 →
↑
168.45 m
↓
↑
168.45 m
↓
S 56.526169°
E 23.310242°		 ← 168.42 m →
28 372 m²		 S 56.526169°
E 23.312988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564754486083984 y=0.691234588623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564754486083984 × 217)
    floor (0.564754486083984 × 131072)
    floor (74023.5)     		tx = 74023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691234588623047 × 217)
    floor (0.691234588623047 × 131072)
    floor (90601.5)     		ty = 90601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74023 / 90601 ti = "17/74023/90601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74023/90601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74023 ÷ 217
    74023 ÷ 131072     		x = 0.564750671386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90601 ÷ 217
    90601 ÷ 131072     		y = 0.691230773925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564750671386719 × 2 - 1) × π
    0.129501342773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.40684047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691230773925781 × 2 - 1) × π
    -0.382461547851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.20153838897671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40684047} λ = 0.40684047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20153838897671))-π/2
    2×atan(0.300731214283285)-π/2
    2×0.292127498189061-π/2
    0.584254996378121-1.57079632675     		φ = -0.98654133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40684047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.310242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98654133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.524655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74023 KachelY 90601 0.40684047 -0.98654133 23.310242 -56.524655
    Oben rechts KachelX + 1 74024 KachelY 90601 0.40688840 -0.98654133 23.312988 -56.524655
    Unten links KachelX 74023 KachelY + 1 90602 0.40684047 -0.98656777 23.310242 -56.526169
    Unten rechts KachelX + 1 74024 KachelY + 1 90602 0.40688840 -0.98656777 23.312988 -56.526169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98654133--0.98656777) × R
    2.64399999999609e-05 × 6371000     		dl = 168.449239999751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98654133--0.98656777) × R
    2.64399999999609e-05 × 6371000     		dr = 168.449239999751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40684047-0.40688840) × cos(-0.98654133) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.551578110968022 × 6371000     		do = 168.431011668669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40684047-0.40688840) × cos(-0.98656777) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.551556056556636 × 6371000     		du = 168.424277088837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98654133)-sin(-0.98656777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551578110968022-0.551556056556636)×R²
    abs(0.40688840-0.40684047)×2.2054411386585e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.2054411386585e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.2054411386585e-05×40589641000000     		ar = 28371.5086922651m²