Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74022 / 90377
↖ ↑ ↗
← S 56.183782°
E 23.307495°		 ← 169.98 m → S 56.183782°
E 23.310242°		 →
↑
169.98 m
↓
↑
169.98 m
↓
S 56.185311°
E 23.307495°		 ← 169.97 m →
28 892 m²		 S 56.185311°
E 23.310242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564746856689453 y=0.689525604248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564746856689453 × 217)
    floor (0.564746856689453 × 131072)
    floor (74022.5)     		tx = 74022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689525604248047 × 217)
    floor (0.689525604248047 × 131072)
    floor (90377.5)     		ty = 90377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74022 / 90377 ti = "17/74022/90377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74022/90377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74022 ÷ 217
    74022 ÷ 131072     		x = 0.564743041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90377 ÷ 217
    90377 ÷ 131072     		y = 0.689521789550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564743041992188 × 2 - 1) × π
    0.129486083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40679253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689521789550781 × 2 - 1) × π
    -0.379043579101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.19080052346181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40679253} λ = 0.40679253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19080052346181))-π/2
    2×atan(0.303977825259474)-π/2
    2×0.295102168277277-π/2
    0.590204336554553-1.57079632675     		φ = -0.98059199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40679253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.307495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98059199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.183782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74022 KachelY 90377 0.40679253 -0.98059199 23.307495 -56.183782
    Oben rechts KachelX + 1 74023 KachelY 90377 0.40684047 -0.98059199 23.310242 -56.183782
    Unten links KachelX 74022 KachelY + 1 90378 0.40679253 -0.98061867 23.307495 -56.185311
    Unten rechts KachelX + 1 74023 KachelY + 1 90378 0.40684047 -0.98061867 23.310242 -56.185311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98059199--0.98061867) × R
    2.66800000000567e-05 × 6371000     		dl = 169.978280000361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98059199--0.98061867) × R
    2.66800000000567e-05 × 6371000     		dr = 169.978280000361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40679253-0.40684047) × cos(-0.98059199) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.556530803051702 × 6371000     		do = 169.978832354946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40679253-0.40684047) × cos(-0.98061867) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.55650863638989 × 6371000     		du = 169.972062085858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98059199)-sin(-0.98061867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556530803051702-0.55650863638989)×R²
    abs(0.40684047-0.40679253)×2.21666618119842e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21666618119842e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21666618119842e-05×40589641000000     		ar = 28892.1341625108m²