Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74022 / 55043
↖ ↑ ↗
← N 27.676231°
E 23.307495°		 ← 270.48 m → N 27.676231°
E 23.310242°		 →
↑
270.45 m
↓
↑
270.45 m
↓
N 27.673799°
E 23.307495°		 ← 270.49 m →
73 152 m²		 N 27.673799°
E 23.310242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564746856689453 y=0.419948577880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564746856689453 × 217)
    floor (0.564746856689453 × 131072)
    floor (74022.5)     		tx = 74022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419948577880859 × 217)
    floor (0.419948577880859 × 131072)
    floor (55043.5)     		ty = 55043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74022 / 55043 ti = "17/74022/55043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74022/55043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74022 ÷ 217
    74022 ÷ 131072     		x = 0.564743041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55043 ÷ 217
    55043 ÷ 131072     		y = 0.419944763183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564743041992188 × 2 - 1) × π
    0.129486083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40679253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419944763183594 × 2 - 1) × π
    0.160110473632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.503001887713249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40679253} λ = 0.40679253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.503001887713249))-π/2
    2×atan(1.65367798284965)-π/2
    2×1.02691884393466-π/2
    2.05383768786932-1.57079632675     		φ = 0.48304136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40679253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.307495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48304136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.676231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74022 KachelY 55043 0.40679253 0.48304136 23.307495 27.676231
    Oben rechts KachelX + 1 74023 KachelY 55043 0.40684047 0.48304136 23.310242 27.676231
    Unten links KachelX 74022 KachelY + 1 55044 0.40679253 0.48299891 23.307495 27.673799
    Unten rechts KachelX + 1 74023 KachelY + 1 55044 0.40684047 0.48299891 23.310242 27.673799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48304136-0.48299891) × R
    4.24499999999717e-05 × 6371000     		dl = 270.44894999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48304136-0.48299891) × R
    4.24499999999717e-05 × 6371000     		dr = 270.44894999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40679253-0.40684047) × cos(0.48304136) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.885586385940112 × 6371000     		do = 270.48087725982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40679253-0.40684047) × cos(0.48299891) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.885606102093485 × 6371000     		du = 270.486899080554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48304136)-sin(0.48299891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885586385940112-0.885606102093485)×R²
    abs(0.40684047-0.40679253)×1.97161533732615e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.97161533732615e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.97161533732615e-05×40589641000000     		ar = 73152.0835584112m²