Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74021 / 56548
↖ ↑ ↗
← N 23.956137°
E 23.304748°		 ← 279.12 m → N 23.956137°
E 23.307495°		 →
↑
279.11 m
↓
↑
279.11 m
↓
N 23.953626°
E 23.304748°		 ← 279.12 m →
77 906 m²		 N 23.953626°
E 23.307495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564739227294922 y=0.431430816650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564739227294922 × 217)
    floor (0.564739227294922 × 131072)
    floor (74021.5)     		tx = 74021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431430816650391 × 217)
    floor (0.431430816650391 × 131072)
    floor (56548.5)     		ty = 56548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74021 / 56548 ti = "17/74021/56548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74021/56548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74021 ÷ 217
    74021 ÷ 131072     		x = 0.564735412597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56548 ÷ 217
    56548 ÷ 131072     		y = 0.431427001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564735412597656 × 2 - 1) × π
    0.129470825195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.40674459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431427001953125 × 2 - 1) × π
    0.13714599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.430856853785065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40674459} λ = 0.40674459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.430856853785065))-π/2
    2×atan(1.53857529296318)-π/2
    2×0.994454890934025-π/2
    1.98890978186805-1.57079632675     		φ = 0.41811346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40674459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.304748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41811346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.956137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74021 KachelY 56548 0.40674459 0.41811346 23.304748 23.956137
    Oben rechts KachelX + 1 74022 KachelY 56548 0.40679253 0.41811346 23.307495 23.956137
    Unten links KachelX 74021 KachelY + 1 56549 0.40674459 0.41806965 23.304748 23.953626
    Unten rechts KachelX + 1 74022 KachelY + 1 56549 0.40679253 0.41806965 23.307495 23.953626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41811346-0.41806965) × R
    4.38099999999775e-05 × 6371000     		dl = 279.113509999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41811346-0.41806965) × R
    4.38099999999775e-05 × 6371000     		dr = 279.113509999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40674459-0.40679253) × cos(0.41811346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.91385657140469 × 6371000     		do = 279.115319574957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40674459-0.40679253) × cos(0.41806965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.913874359015221 × 6371000     		du = 279.120752369067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41811346)-sin(0.41806965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91385657140469-0.913874359015221)×R²
    abs(0.40679253-0.40674459)×1.77876105309505e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77876105309505e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77876105309505e-05×40589641000000     		ar = 77905.6147368693m²