Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74021 / 55518
↖ ↑ ↗
← N 26.514820°
E 23.304748°		 ← 273.30 m → N 26.514820°
E 23.307495°		 →
↑
273.32 m
↓
↑
273.32 m
↓
N 26.512362°
E 23.304748°		 ← 273.31 m →
74 698 m²		 N 26.512362°
E 23.307495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564739227294922 y=0.423572540283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564739227294922 × 217)
    floor (0.564739227294922 × 131072)
    floor (74021.5)     		tx = 74021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423572540283203 × 217)
    floor (0.423572540283203 × 131072)
    floor (55518.5)     		ty = 55518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74021 / 55518 ti = "17/74021/55518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74021/55518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74021 ÷ 217
    74021 ÷ 131072     		x = 0.564735412597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55518 ÷ 217
    55518 ÷ 131072     		y = 0.423568725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564735412597656 × 2 - 1) × π
    0.129470825195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.40674459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423568725585938 × 2 - 1) × π
    0.152862548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.480231860393723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40674459} λ = 0.40674459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.480231860393723))-π/2
    2×atan(1.6164491492829)-π/2
    2×1.0167836183852-π/2
    2.0335672367704-1.57079632675     		φ = 0.46277091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40674459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.304748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46277091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.514820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74021 KachelY 55518 0.40674459 0.46277091 23.304748 26.514820
    Oben rechts KachelX + 1 74022 KachelY 55518 0.40679253 0.46277091 23.307495 26.514820
    Unten links KachelX 74021 KachelY + 1 55519 0.40674459 0.46272801 23.304748 26.512362
    Unten rechts KachelX + 1 74022 KachelY + 1 55519 0.40679253 0.46272801 23.307495 26.512362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46277091-0.46272801) × R
    4.28999999999569e-05 × 6371000     		dl = 273.315899999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46277091-0.46272801) × R
    4.28999999999569e-05 × 6371000     		dr = 273.315899999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40674459-0.40679253) × cos(0.46277091) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894818918933157 × 6371000     		do = 273.30073048098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40674459-0.40679253) × cos(0.46272801) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894838069925859 × 6371000     		du = 273.306579687098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46277091)-sin(0.46272801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894818918933157-0.894838069925859)×R²
    abs(0.40679253-0.40674459)×1.91509927026656e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91509927026656e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91509927026656e-05×40589641000000     		ar = 74698.2344739291m²