Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7402 / 10213
↖ ↑ ↗
← S 40.530502°
W 17.358399°		 ← 1 857.04 m → S 40.530502°
W 17.336426°		 →
↑
1 856.83 m
↓
↑
1 856.83 m
↓
S 40.547200°
W 17.358399°		 ← 1 856.58 m →
3 447 771 m²		 S 40.547200°
W 17.336426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451812744140625 y=0.623382568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451812744140625 × 214)
    floor (0.451812744140625 × 16384)
    floor (7402.5)     		tx = 7402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623382568359375 × 214)
    floor (0.623382568359375 × 16384)
    floor (10213.5)     		ty = 10213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7402 / 10213 ti = "14/7402/10213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7402/10213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7402 ÷ 214
    7402 ÷ 16384     		x = 0.4517822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10213 ÷ 214
    10213 ÷ 16384     		y = 0.62335205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4517822265625 × 2 - 1) × π
    -0.096435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30296121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62335205078125 × 2 - 1) × π
    -0.2467041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.775043793057068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30296121} λ = -0.30296121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.775043793057068))-π/2
    2×atan(0.460683605813763)-π/2
    2×0.431702811669803-π/2
    0.863405623339606-1.57079632675     		φ = -0.70739070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30296121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.358399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70739070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.530502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7402 KachelY 10213 -0.30296121 -0.70739070 -17.358399 -40.530502
    Oben rechts KachelX + 1 7403 KachelY 10213 -0.30257771 -0.70739070 -17.336426 -40.530502
    Unten links KachelX 7402 KachelY + 1 10214 -0.30296121 -0.70768215 -17.358399 -40.547200
    Unten rechts KachelX + 1 7403 KachelY + 1 10214 -0.30257771 -0.70768215 -17.336426 -40.547200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70739070--0.70768215) × R
    0.000291449999999971 × 6371000     		dl = 1856.82794999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70739070--0.70768215) × R
    0.000291449999999971 × 6371000     		dr = 1856.82794999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30296121--0.30257771) × cos(-0.70739070) × R
    0.000383499999999981 × 0.760060122287572 × 6371000     		do = 1857.0385554925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30296121--0.30257771) × cos(-0.70768215) × R
    0.000383499999999981 × 0.759870690422234 × 6371000     		du = 1856.57572068871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70739070)-sin(-0.70768215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760060122287572-0.759870690422234)×R²
    abs(-0.30257771--0.30296121)×0.000189431865338596×R²
    0.000383499999999981×0.000189431865338596×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189431865338596×40589641000000     		ar = 3447771.41617041m²