Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74019 / 55029
↖ ↑ ↗
← N 27.710279°
E 23.299255°		 ← 270.40 m → N 27.710279°
E 23.302002°		 →
↑
270.39 m
↓
↑
270.39 m
↓
N 27.707847°
E 23.299255°		 ← 270.40 m →
73 112 m²		 N 27.707847°
E 23.302002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564723968505859 y=0.419841766357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564723968505859 × 217)
    floor (0.564723968505859 × 131072)
    floor (74019.5)     		tx = 74019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419841766357422 × 217)
    floor (0.419841766357422 × 131072)
    floor (55029.5)     		ty = 55029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74019 / 55029 ti = "17/74019/55029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74019/55029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74019 ÷ 217
    74019 ÷ 131072     		x = 0.564720153808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55029 ÷ 217
    55029 ÷ 131072     		y = 0.419837951660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564720153808594 × 2 - 1) × π
    0.129440307617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.40664872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419837951660156 × 2 - 1) × π
    0.160324096679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.50367300430793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40664872} λ = 0.40664872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50367300430793))-π/2
    2×atan(1.65478816607573)-π/2
    2×1.02721596346585-π/2
    2.05443192693171-1.57079632675     		φ = 0.48363560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40664872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.299255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48363560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.710279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74019 KachelY 55029 0.40664872 0.48363560 23.299255 27.710279
    Oben rechts KachelX + 1 74020 KachelY 55029 0.40669666 0.48363560 23.302002 27.710279
    Unten links KachelX 74019 KachelY + 1 55030 0.40664872 0.48359316 23.299255 27.707847
    Unten rechts KachelX + 1 74020 KachelY + 1 55030 0.40669666 0.48359316 23.302002 27.707847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48363560-0.48359316) × R
    4.24399999999769e-05 × 6371000     		dl = 270.385239999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48363560-0.48359316) × R
    4.24399999999769e-05 × 6371000     		dr = 270.385239999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40664872-0.40669666) × cos(0.48363560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885310220147079 × 6371000     		do = 270.396529117807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40664872-0.40669666) × cos(0.48359316) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885329953986934 × 6371000     		du = 270.402556340448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48363560)-sin(0.48359316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885310220147079-0.885329953986934)×R²
    abs(0.40669666-0.40664872)×1.97338398553182e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97338398553182e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97338398553182e-05×40589641000000     		ar = 73112.0452676425m²