Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74015 / 56995
↖ ↑ ↗
← N 22.829352°
E 23.288269°		 ← 281.50 m → N 22.829352°
E 23.291016°		 →
↑
281.53 m
↓
↑
281.53 m
↓
N 22.826820°
E 23.288269°		 ← 281.51 m →
79 253 m²		 N 22.826820°
E 23.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564693450927734 y=0.434841156005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564693450927734 × 217)
    floor (0.564693450927734 × 131072)
    floor (74015.5)     		tx = 74015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434841156005859 × 217)
    floor (0.434841156005859 × 131072)
    floor (56995.5)     		ty = 56995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74015 / 56995 ti = "17/74015/56995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74015/56995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74015 ÷ 217
    74015 ÷ 131072     		x = 0.564689636230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56995 ÷ 217
    56995 ÷ 131072     		y = 0.434837341308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564689636230469 × 2 - 1) × π
    0.129379272460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.40645697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434837341308594 × 2 - 1) × π
    0.130325317382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.4094290596549
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40645697} λ = 0.40645697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4094290596549))-π/2
    2×atan(1.50595772759075)-π/2
    2×0.984621841342525-π/2
    1.96924368268505-1.57079632675     		φ = 0.39844736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40645697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.288269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39844736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.829352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74015 KachelY 56995 0.40645697 0.39844736 23.288269 22.829352
    Oben rechts KachelX + 1 74016 KachelY 56995 0.40650491 0.39844736 23.291016 22.829352
    Unten links KachelX 74015 KachelY + 1 56996 0.40645697 0.39840317 23.288269 22.826820
    Unten rechts KachelX + 1 74016 KachelY + 1 56996 0.40650491 0.39840317 23.291016 22.826820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39844736-0.39840317) × R
    4.41899999999995e-05 × 6371000     		dl = 281.534489999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39844736-0.39840317) × R
    4.41899999999995e-05 × 6371000     		dr = 281.534489999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40645697-0.40650491) × cos(0.39844736) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.921664510058472 × 6371000     		do = 281.500065016488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40645697-0.40650491) × cos(0.39840317) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.921681654339339 × 6371000     		du = 281.505301321158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39844736)-sin(0.39840317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921664510058472-0.921681654339339)×R²
    abs(0.40650491-0.40645697)×1.71442808667432e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.71442808667432e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.71442808667432e-05×40589641000000     		ar = 79252.7143525092m²